Encontre a solucais dos PVI’s:
ld yd x=y^2+1 y(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é dydx = y^2 + 1 com a condição inicial y(1) = 0. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a equação diferencial é separável, o que significa que podemos rearranjá-la para separar as variáveis y e x. A equação é:
dydx = y^2 + 1
Podemos reescrever isso como:
dyy^2 + 1 = dx

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma função que conhecemos: a integral de 1y^2 + 1 em relação a y é tan^-1(y). A integral do lado direito é simplesmente x mais uma constante de integração. Então:
integral 1y^2 + 1 , dy = integral 1 , dx
Isso resulta em:
tan^-1(y) = x + C

Passo 4

Agora, vamos resolver para y. Para isso, aplicamos a função tangente nos dois lados:
y = tan(x + C)
Aqui, C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial fornecida.

Passo 5

Usando a condição inicial y(1) = 0, substituímos x = 1 e y = 0 na equação para encontrar C:
0 = tan(1 + C)
Sabemos que tan(0) = 0, então:
1 + C = 0 Rightarrow C = -1

Passo 6

Substituindo C = -1 de volta na expressão para y, temos:
y = tan(x - 1)

Resposta

A solução do PVI é y = tan(x - 1).

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