Encontre a solucais dos PVI’s:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação diferencial é separável, o que significa que podemos rearranjá-la para separar as variáveis
e
. A equação é:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma função que conhecemos: a integral de
em relação a
é
. A integral do lado direito é simplesmente
mais uma constante de integração. Então:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Para isso, aplicamos a função tangente nos dois lados:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial fornecida.
Passo 5
Usando a condição inicial
, substituímos
e
na equação para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão para
, temos:
Resposta
A solução do PVI é
.