Encontre uma solução para a EDO:
\frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução da equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x}.
Informações dadas: a equação relaciona a derivada de y com uma razão que envolve x e y. Não há condições iniciais fornecidas, então precisamos obter a solução geral (com constante arbitrária). Não há figura ou tabela. A resolução deve fornecer uma família de soluções implícita ou explícita.

Passo 2

Observação útil (por que isso ajuda): a razão do lado direito depende apenas da relação entre y e x, isto é, se trocarmos (x,y) por (\lambda x,\lambda y) o valor da razão não muda. Esse tipo de equação é chamada de homogênea (o membro direito é função de y/x). Um método padrão é fazer a substituição
y = v x,
onde v é uma função de x. Aqui v representa a razão \frac{y}{x}. Essa substituição transforma a EDO em uma equação para v(x) que costuma ser separável.

Passo 3

Aplicando y = v x, calculamos \dfrac{d y}{d x} usando a regra do produto:
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{dx}(v x)=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituímos y=vx no membro direito da EDO:
\frac{y-x}{y+x}=\frac{v x - x}{v x + x}=\frac{v-1}{v+1}.
Portanto a EDO fica
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{v-1}{v+1}.

Passo 4

Agora isolamos \dfrac{dv}{dx}. Subtraindo v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v-1}{v+1}-v.
Fazemos a subtração no lado direito colocando sobre o mesmo denominador v+1:
\frac{v-1}{v+1}-v=\frac{v-1 - v(v+1)}{v+1}=\frac{v-1 - v^2 - v}{v+1}=\frac{-v^2-1}{v+1}.
Logo
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v^2+1}{v+1}.
E portanto
\frac{dv}{dx}=-\frac{v^2+1}{(v+1)\,x}.

Passo 5

A equação encontrada é separável: podemos separar variáveis v e x. Escrevemos
\frac{v+1}{v^2+1}\,dv=-\frac{dx}{x}.
Explicação: multiplicamos ambos os lados por \dfrac{v+1}{v^2+1} e por \dfrac{1}{x} para colocar todos os termos em v do lado esquerdo e todos os termos em x do lado direito.

Passo 6

Integramos ambos os lados. À esquerda temos
\int\frac{v+1}{v^2+1}\,dv=\int\frac{v}{v^2+1}\,dv+\int\frac{1}{v^2+1}\,dv.
Calculamos cada integral separadamente:
  • Para \displaystyle\int\frac{v}{v^2+1}\,dv usamos a substituição u=v^2+1, então du=2v\,dv, o que dá \displaystyle\int\frac{v}{v^2+1}\,dv=\frac{1}{2}\ln(v^2+1).
  • Para \displaystyle\int\frac{1}{v^2+1}\,dv sabemos que é \arctan(v).
Portanto a integração da esquerda resulta em
\frac{1}{2}\ln(v^2+1)+\arctan(v).
À direita temos
\int -\frac{dx}{x}=-\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Juntando,
\frac{1}{2}\ln(v^2+1)+\arctan(v)=-\ln|x|+C.

Passo 7

Voltamos à variável original usando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo v na expressão:
\frac{1}{2}\ln\!\bigg(1+\bigg(\frac{y}{x}\bigg)^2\bigg)+\arctan\!\bigg(\frac{y}{x}\bigg)=-\ln|x|+C.
Agora simplificamos o termo logarítmico para uma forma mais elegante. Note que
\frac{1}{2}\ln\!\bigg(1+\bigg(\frac{y}{x}\bigg)^2\bigg)+\ln|x| =\frac{1}{2}\Big(\ln\!\bigg(1+\bigg(\frac{y}{x}\bigg)^2\bigg)+2\ln|x|\Big) =\frac{1}{2}\ln\!\bigg(\bigg(1+\frac{y^2}{x^2}\bigg)x^2\bigg) =\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2).
Portanto a solução implícita pode ser escrita como
\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+\arctan\!\bigg(\frac{y}{x}\bigg)=C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 8

Comentários finais e observações de domínio:
  • A solução acima é a família geral de soluções implícitas. Pode-se multiplicar tudo por 2 e escrever
\ln(x^2+y^2)+2\arctan\!\bigg(\frac{y}{x}\bigg)=C_1,
com C_1=2C.
  • Pontos onde x=0 exigem cuidado ao interpretar \arctan(y/x); a expressão implícita seleciona as soluções em regiões onde x\neq0. Em provas, normalmente aceitaremos a forma implícita encontrada, lembrando de que x\neq0 foi usado na separação (ou interpretar por continuidade).
  • Linhas como y=-x tornam o denominador do membro direito zero, então não são soluções regulares da EDO (não devemos aceitar y=-x como solução geral).

Resposta

\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+\arctan\!\bigg(\frac{y}{x}\bigg)=C

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