Encontre uma solução para a EDO:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma solução da equação diferencial ordinária
Informações dadas: a equação relaciona a derivada de
com uma razão que envolve
e
. Não há condições iniciais fornecidas, então precisamos obter a solução geral (com constante arbitrária). Não há figura ou tabela. A resolução deve fornecer uma família de soluções implícita ou explícita.
Passo 2
Observação útil (por que isso ajuda): a razão do lado direito depende apenas da relação entre
e
, isto é, se trocarmos
por
o valor da razão não muda. Esse tipo de equação é chamada de homogênea (o membro direito é função de
). Um método padrão é fazer a substituição
onde
é uma função de
. Aqui
representa a razão
. Essa substituição transforma a EDO em uma equação para
que costuma ser separável.
Passo 3
Aplicando
, calculamos
usando a regra do produto:
Substituímos
no membro direito da EDO:
Portanto a EDO fica
Passo 4
Agora isolamos
. Subtraindo
dos dois lados:
Fazemos a subtração no lado direito colocando sobre o mesmo denominador
:
Logo
E portanto
Passo 5
A equação encontrada é separável: podemos separar variáveis
e
. Escrevemos
Explicação: multiplicamos ambos os lados por
e por
para colocar todos os termos em
do lado esquerdo e todos os termos em
do lado direito.
Passo 6
Integramos ambos os lados. À esquerda temos
Calculamos cada integral separadamente:
- Para
usamos a substituição , então , o que dá . - Para
sabemos que é .
Portanto a integração da esquerda resulta em
À direita temos
onde
é a constante de integração. Juntando,
Passo 7
Voltamos à variável original usando
. Substituindo
na expressão:
Agora simplificamos o termo logarítmico para uma forma mais elegante. Note que
Portanto a solução implícita pode ser escrita como
onde
é constante arbitrária.
Passo 8
Comentários finais e observações de domínio:
- A solução acima é a família geral de soluções implícitas. Pode-se multiplicar tudo por
e escrever
com
.
- Pontos onde
exigem cuidado ao interpretar ; a expressão implícita seleciona as soluções em regiões onde . Em provas, normalmente aceitaremos a forma implícita encontrada, lembrando de que foi usado na separação (ou interpretar por continuidade). - Linhas como
tornam o denominador do membro direito zero, então não são soluções regulares da EDO (não devemos aceitar como solução geral).