Resolva a segunte equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e observações iniciais:
é função de
.
deve ser evitado porque o lado direito tem
no denominador. A equação admite a solução constante
(verifique substituindo na equação). Vamos procurar as soluções não constantes também.
Passo 2
Identificação do tipo e separação de variáveis (sem resolver ainda).
A equação é separável porque podemos escrever todos os termos que envolvem multiplicando
e todos os termos que envolvem
multiplicando
. Atenção: essa manipulação só vale quando
; por isso tratamos o caso
separadamente (já identificado no Passo 1). Para
fazemos:
A equação é separável porque podemos escrever todos os termos que envolvem
Aqui isolamos os diferenciais: todos os
do lado esquerdo e todos os
do lado direito.
Passo 3
Integração dos dois lados e explicação da regra de potência.
Usamos a regra de potência para integrais: para ,
Usamos a regra de potência para integrais: para
Aplicando ao nosso caso, escrevendo
e
:
Calcule cada lado:
Incluímos uma constante de integração
(apenas uma, pois as duas constantes podem ser reunidas numa só):
Passo 4
Arrumar a constante e isolar
.
Multiplicamos a igualdade por para simplificar:
Multiplicamos a igualdade por
onde
é outra constante arbitrária (aqui só reescrevemos a constante para ficar mais simples). Agora isolamos
:
Podemos simplificar a fração reunindo termos:
Para escrever a solução com uma constante única conveniente, defina
(constante arbitrária qualquer). Assim:
Finalmente,
Lembre que essa expressão só faz sentido quando o radicando é não negativo e
e
. O parâmetro
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
Verificação rápida da solução (checagem).
Uma verificação direta parte da expressão intermediária
Uma verificação direta parte da expressão intermediária
Derivando ambos os lados em relação a
:
esquerda: .
direita: .
Igualando temos , ou seja
, que é exatamente a equação original. Portanto a família encontrada está correta.
esquerda:
direita:
Igualando temos
Passo 6
Conclusões sobre as soluções e domínios.
- A solução constante
é válida para qualquer (na verdade é solução para todo , mas a equação original está indefinida em ).\n- A família geral de soluções não constantes é dada por
com
constante arbitrária; deve-se escolher intervalos de
onde
,
e o radicando seja não negativo, para obter soluções reais.