Resolva a segunte equação diferencial:
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{3}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{3}}{x^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
\,y é função de x. \,x=0 deve ser evitado porque o lado direito tem x^{2} no denominador. A equação admite a solução constante \,y\equiv 0 (verifique substituindo na equação). Vamos procurar as soluções não constantes também.

Passo 2

Identificação do tipo e separação de variáveis (sem resolver ainda).
A equação é separável porque podemos escrever todos os termos que envolvem y multiplicando dy e todos os termos que envolvem x multiplicando dx. Atenção: essa manipulação só vale quando y\neq 0; por isso tratamos o caso y\equiv 0 separadamente (já identificado no Passo 1). Para y\neq 0 fazemos:
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{3}}{x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d y}{y^{3}}=\frac{d x}{x^{2}}.
Aqui isolamos os diferenciais: todos os y do lado esquerdo e todos os x do lado direito.

Passo 3

Integração dos dois lados e explicação da regra de potência.
Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando ao nosso caso, escrevendo y^{-3} e x^{-2}:
\int y^{-3}\,dy=\int x^{-2}\,dx.
Calcule cada lado:
\int y^{-3}\,dy=\frac{y^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2y^{2}},
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{1}{x}.
Incluímos uma constante de integração C (apenas uma, pois as duas constantes podem ser reunidas numa só):
-\frac{1}{2y^{2}}=-\frac{1}{x}+C.

Passo 4

Arrumar a constante e isolar y.
Multiplicamos a igualdade por -1 para simplificar:
\frac{1}{2y^{2}}=\frac{1}{x}+C_{1},
onde C_{1}=-C é outra constante arbitrária (aqui só reescrevemos a constante para ficar mais simples). Agora isolamos y^{2}:
y^{2}=\frac{1}{2\left(\dfrac{1}{x}+C_{1}\right)}.
Podemos simplificar a fração reunindo termos:
y^{2}=\frac{1}{\dfrac{2}{x}+2C_{1}}=\frac{x}{2+2C_{1}x}.
Para escrever a solução com uma constante única conveniente, defina K=2C_{1} (constante arbitrária qualquer). Assim:
y^{2}=\frac{x}{Kx+2}.
Finalmente,
y(x)=\pm\sqrt{\frac{x}{Kx+2}}.
Lembre que essa expressão só faz sentido quando o radicando é não negativo e x\neq 0 e Kx+2\neq 0. O parâmetro K é uma constante real arbitrária.

Passo 5

Verificação rápida da solução (checagem).
Uma verificação direta parte da expressão intermediária
\frac{1}{2y^{2}}=\frac{1}{x}+C_{1}.
Derivando ambos os lados em relação a x:
esquerda: \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2y^{2}}\right)=(1/2)(-2)y^{-3}y'=-y^{-3}y'.
direita: \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}+C_{1}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Igualando temos -y^{-3}y'=-\dfrac{1}{x^{2}}, ou seja y'=\dfrac{y^{3}}{x^{2}}, que é exatamente a equação original. Portanto a família encontrada está correta.

Passo 6

Conclusões sobre as soluções e domínios.
  • A solução constante \,y\equiv 0 é válida para qualquer x\neq 0 (na verdade é solução para todo x, mas a equação original está indefinida em x=0).\n- A família geral de soluções não constantes é dada por
y(x)=\pm\sqrt{\frac{x}{Kx+2}},
com K\in\mathbb{R} constante arbitrária; deve-se escolher intervalos de x onde x\neq 0, Kx+2\neq 0 e o radicando seja não negativo, para obter soluções reais.

Resposta

\displaystyle y\equiv 0\n \displaystyle y(x)=\pm\sqrt{\frac{x}{Kx+2}},\quad K\in\mathbb{R}

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