Resolva a EDO
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial ordinária
O que o problema pede: encontrar a solução geral
(não foi dado valor inicial, então procuramos a família de integrais gerais). Informações fornecidas: a derivada de
é dada em função de
, ou seja, o lado direito é
. Não há outras condições.
Passo 2
Observação útil (motivo da escolha): o termo
depende da combinação
. Isso sugere tentar a substituição
porque transformar a equação em uma EDO para
pode simplificar (vai aparecer uma função só de
). Aqui explico:
é uma nova função de
; quando definimos
assim,
depende de
através de
e de
.
Passo 3
Calcule a derivada de
em relação a
. Usando regra da soma,
Como
e
, substituímos
por
. Portanto
Reescrevendo como separável,
Agora temos uma equação separada: todos os
do lado esquerdo e
do lado direito — perfeita para integrar.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Precisamos calcular
Um truque clássico para integrar frações com
é multiplicar numerador e denominador por
(isso usa a identidade
). Faço os passos:
Agora separamos em duas parcelas:
Aqui usei as definições
e
. Agora integro termo a termo, lembrando das derivadas conhecidas:
e
. Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à integral igual a
: integrou-se dos dois lados e obteve-se
Lembremo-nos que
. Substituindo de volta,
Essa é a solução implícita geral da EDO. Em muitas provas é perfeitamente aceitável deixar a solução nessa forma implícita, porque isolar
explicitamente exigiria tomar arcseno/arcotangente em uma combinação complicada — dá para fazer, mas não fica mais simples.
Passo 6
Verificação rápida (checar que a solução faz sentido): se diferenciarem ambos os lados de
usem a regra da cadeia. O lado esquerdo dá
e o direito dá
. Isolando
e usando a identidade que apareceu antes (isto é,
) obtemos
, confirmando que a solução está correta. Então está tudo consistente — bom sinal!