Resolva a EDO
y^{\prime}=\sin (x+y)

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial ordinária
y'=\sin(x+y).
O que o problema pede: encontrar a solução geral y(x) (não foi dado valor inicial, então procuramos a família de integrais gerais). Informações fornecidas: a derivada de y é dada em função de x+y, ou seja, o lado direito é \sin(x+y). Não há outras condições.

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha): o termo \sin(x+y) depende da combinação x+y. Isso sugere tentar a substituição
u = x+y,
porque transformar a equação em uma EDO para u pode simplificar (vai aparecer uma função só de u). Aqui explico: u é uma nova função de x; quando definimos u assim, u depende de x através de x e de y(x).

Passo 3

Calcule a derivada de u em relação a x. Usando regra da soma,
\frac{du}{dx}= \frac{d}{dx}(x+y)=1+\frac{dy}{dx}=1+y'.
Como y'=\sin(x+y) e x+y=u, substituímos y' por \sin u. Portanto
\frac{du}{dx}=1+\sin u.
Reescrevendo como separável,
\frac{du}{1+\sin u}=dx.
Agora temos uma equação separada: todos os u do lado esquerdo e x do lado direito — perfeita para integrar.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Precisamos calcular
\int \frac{du}{1+\sin u}.
Um truque clássico para integrar frações com 1+\sin u é multiplicar numerador e denominador por 1-\sin u (isso usa a identidade 1-\sin^2 u=\cos^2 u). Faço os passos:
\frac{1}{1+\sin u}=\frac{1-\sin u}{(1+\sin u)(1-\sin u)}=\frac{1-\sin u}{1-\sin^2 u}=\frac{1-\sin u}{\cos^2 u}.
Agora separamos em duas parcelas:
\frac{1-\sin u}{\cos^2 u}=\frac{1}{\cos^2 u}-\frac{\sin u}{\cos^2 u}=\operatorname{sec}^2 u-\operatorname{sec} u\tan u.
Aqui usei as definições \operatorname{sec} u=\dfrac{1}{\cos u} e \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Agora integro termo a termo, lembrando das derivadas conhecidas: \dfrac{d}{du}\tan u=\operatorname{sec}^2 u e \dfrac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\tan u. Assim,
\int\frac{du}{1+\sin u}=\int(\operatorname{sec}^2 u-\operatorname{sec} u\tan u)\,du=\tan u-\operatorname{sec} u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à integral igual a x: integrou-se dos dois lados e obteve-se
\tan u-\operatorname{sec} u = x + C.
Lembremo-nos que u=x+y. Substituindo de volta,
\tan(x+y)-\operatorname{sec}(x+y)=x+C.
Essa é a solução implícita geral da EDO. Em muitas provas é perfeitamente aceitável deixar a solução nessa forma implícita, porque isolar y explicitamente exigiria tomar arcseno/arcotangente em uma combinação complicada — dá para fazer, mas não fica mais simples.

Passo 6

Verificação rápida (checar que a solução faz sentido): se diferenciarem ambos os lados de
\tan(x+y)-\operatorname{sec}(x+y)=x+C,
usem a regra da cadeia. O lado esquerdo dá (\operatorname{sec}^2(x+y)-\operatorname{sec}(x+y)\tan(x+y))\cdot(1+y') e o direito dá 1. Isolando y' e usando a identidade que apareceu antes (isto é, \operatorname{sec}^2 u-\operatorname{sec} u\tan u=\dfrac{1}{1+\sin u}) obtemos y'=\sin(x+y), confirmando que a solução está correta. Então está tudo consistente — bom sinal!

Resposta

\tan(x+y)-\operatorname{sec}(x+y)=x+C

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