Encontre a solução da equação diferencial com a condição inicial a seguir (2 pontos)
\frac{d y}{d t}-2 y=e^{2 t} \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dt} - 2y = e^{2t},
com condição inicial y(0)=2. Para isso, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos p(t)=-2 no formato \frac{dy}{dt}+p(t)\,y=q(t). O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr)=\exp\bigl(\int -2\,dt\bigr)=e^{-2t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t), obtemos
e^{-2t}\frac{dy}{dt}-2e^{-2t}y = e^{-2t}e^{2t}=1,
e o lado esquerdo é a derivada de e^{-2t}y.

Passo 3

Escrevemos
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}y\bigr)=1
e integramos em relação a t:
e^{-2t}y = \int 1\,dt = t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=2. Em t=0, a relação acima dá
e^{0}\cdot 2 = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C=2.

Passo 5

Isolando y, temos
y = e^{2t}\,(t + 2).

Resposta

y(t)=e^{2t}(t+2).

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