A equação a seguir pode ser transformada èm exata (verifique que inicialmente elạ não é exata). Encontre o fator integrante que transforma esta equação em uma equação exata ( 0,5 pontos) e resolva a equação. ( 1,5 pontos)
y+\left(2 x y-e^{-2 y}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y + \bigl(2xy - e^{-2y}\bigr)\,y' = 0
e pede um fator integrante que a transforme em exata e em seguida a sua solução. Para isso vamos reescrevê-la na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
verificar que não é exata, achar \mu(y) e depois resolver como equação exata.

Passo 2

Com y' = \tfrac{dy}{dx}, temos
y + (2xy - e^{-2y})\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad y\,dx + (2xy - e^{-2y})\,dy = 0.
Logo
M(x,y) = y, \qquad N(x,y) = 2xy - e^{-2y}.

Passo 3

Calculamos as parciais para checar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y.
Como 1 \neq 2y, a equação não é exata.

Passo 4

Procuramos um fator integrante que dependa só de y. A condição é
\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{2y - 1}{y} = 2 - \frac{1}{y},
que é função apenas de y. Denotamos
g(y) = 2 - \frac{1}{y}.

Passo 5

O fator integrante é
\mu(y) = \exp\!\Bigl(\int g(y)\,dy\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int\bigl(2 - \tfrac1y\bigr)\,dy\Bigr) = \exp\bigl(2y - \ln y\bigr) = \frac{e^{2y}}{y}.

Passo 6

Multiplicando a equação original por \mu(y) obtemos
M^*\,dx + N^*\,dy = 0,
com
M^* = \mu\,M = \frac{e^{2y}}{y}\,y = e^{2y}, \quad N^* = \mu\,N = \frac{e^{2y}}{y}\bigl(2xy - e^{-2y}\bigr) = 2x e^{2y} - \frac{1}{y}.
Agora
\frac{\partial M^*}{\partial y} = 2e^{2y}, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x} = 2e^{2y},
logo a equação é exata.

Passo 7

Existe \Phi(x,y) tal que
\Phi_x = M^* = e^{2y}, \qquad \Phi_y = N^* = 2x e^{2y} - \frac{1}{y}.
Integramos em x:
\Phi(x,y) = \int e^{2y}\,dx = x e^{2y} + h(y).
Derivando em y e igualando a N^*:
\Phi_y = 2x e^{2y} + h'(y) = 2x e^{2y} - \frac{1}{y} \;\Longrightarrow\; h'(y) = -\frac{1}{y} \;\Longrightarrow\; h(y) = -\ln y.
Assim
\Phi(x,y) = x e^{2y} - \ln y.

Resposta

O fator integrante é
\mu(y) = \frac{e^{2y}}{y},
e a solução implícita geral da equação é
x e^{2y} - \ln y = C,
com C constante arbitrária.

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