A equação a seguir pode ser transformada èm exata (verifique que inicialmente elạ não é exata). Encontre o fator integrante que transforma esta equação em uma equação exata ( 0,5 pontos) e resolva a equação. ( 1,5 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede um fator integrante que a transforme em exata e em seguida a sua solução. Para isso vamos reescrevê-la na forma
verificar que não é exata, achar
e depois resolver como equação exata.
Passo 2
Com
, temos
Logo
Passo 3
Calculamos as parciais para checar exatidão:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. A condição é
que é função apenas de
. Denotamos
Passo 5
O fator integrante é
Passo 6
Multiplicando a equação original por
obtemos
com
Agora
logo a equação é exata.
Passo 7
Existe
tal que
Integramos em
:
Derivando em
e igualando a
:
Assim
Resposta
O fator integrante é
e a solução implícita geral da equação é
com
constante arbitrária.