Encontre a solução da equação diferencial dada.
y^{\prime}=\frac{3 x^{2}-1}{3+2 y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{3x^{2}-1}{3+2y}
e pede a solução geral y(x).
Informações úteis que já temos a partir do enunciado:
  • A equação relaciona y' com uma função de x e y.
  • A expressão do lado direito fica indefinida quando 3+2y=0, isto é, quando y=-\tfrac{3}{2}. Logo as soluções procuradas devem satisfazer y(x)\neq -\tfrac{3}{2} nas regiões onde a equação é válida.
  • Não foi dada condição inicial, então devemos encontrar a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos manipular a equação para colocar todos os termos em y com dy de um lado e todos os termos em x com dx do outro (ou seja, separar variáveis). Começamos reescrevendo y' como \dfrac{dy}{dx} e multiplicando ambos os lados por 3+2y e por dx:
(3+2y)\,dy = (3x^{2}-1)\,dx.
Aqui a operação é legítima desde que 3+2y\neq 0. A ideia é agora integrar ambos os lados em relação às suas variáveis.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Escrevendo explicitamente:
\int (3+2y)\,dy = \int (3x^{2}-1)\,dx.
Calculemos cada integral separadamente.
No lado esquerdo:
\int (3+2y)\,dy = \int 3\,dy + \int 2y\,dy = 3y + y^{2} + C_{1},
pois \int 3\,dy = 3y e \int 2y\,dy = y^{2}.
No lado direito:
\int (3x^{2}-1)\,dx = \int 3x^{2}\,dx - \int 1\,dx = x^{3} - x + C_{2},
pois \int 3x^{2}\,dx = x^{3} e \int 1\,dx = x.

Passo 4

Igualando os resultados (e combinando as constantes de integração C_{1} e C_{2} numa única constante arbitrária C) obtemos a forma implícita da solução:
3y + y^{2} = x^{3} - x + C.
Podemos reorganizar para escrever de forma mais padrão:
y^{2} + 3y - x^{3} + x - C = 0.

Passo 5

Se quisermos a solução explícita y(x), resolvemos a equação quadrática em y. Para a equação
y^{2} + 3y + \bigl(-x^{3}+x-C\bigr)=0
aplicamos a fórmula quadrática com a=1, b=3, c=-x^{3}+x-C. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 9 - 4\bigl(-x^{3}+x-C\bigr) = 9 + 4x^{3} - 4x + 4C.
Portanto as soluções explícitas são
y(x)=\frac{-3 \pm \sqrt{\,9 + 4x^{3} - 4x + 4C\,}}{2},
onde C é a constante arbitrária de integração. Note que, para obter valores reais, é necessário que o discriminante seja não negativo:
9 + 4x^{3} - 4x + 4C \ge 0.

Passo 6

Observações finais e dicas para prova:
  • A constante C é determinada por uma condição inicial, se houver uma (por exemplo, se soubermos y(x_{0})=y_{0}, substituir x=x_{0} e y=y_{0} em 3y+y^{2}=x^{3}-x+C para achar C).
  • Lembre-se de checar a região onde a solução é válida (não permitir pontos em que 3+2y=0 no domínio considerado).
  • Se for pedir só a forma implícita, a expressão 3y+y^{2}=x^{3}-x+C já é suficiente e costuma ser a resposta mais simples em provas.

Resposta

3y+y^{2}=x^{3}-x+C
y(x)=\dfrac{-3 \pm \sqrt{\,9 + 4x^{3} - 4x + 4C\,}}{2}

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