Encontre a solução da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
.
Informações úteis que já temos a partir do enunciado:
- A equação relaciona
com uma função de e . - A expressão do lado direito fica indefinida quando
, isto é, quando . Logo as soluções procuradas devem satisfazer nas regiões onde a equação é válida. - Não foi dada condição inicial, então devemos encontrar a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos manipular a equação para colocar todos os termos em
com
de um lado e todos os termos em
com
do outro (ou seja, separar variáveis). Começamos reescrevendo
como
e multiplicando ambos os lados por
e por
:
Aqui a operação é legítima desde que
. A ideia é agora integrar ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Escrevendo explicitamente:
Calculemos cada integral separadamente.
No lado esquerdo:
pois
e
.
No lado direito:
pois
e
.
Passo 4
Igualando os resultados (e combinando as constantes de integração
e
numa única constante arbitrária
) obtemos a forma implícita da solução:
Podemos reorganizar para escrever de forma mais padrão:
Passo 5
Se quisermos a solução explícita
, resolvemos a equação quadrática em
. Para a equação
aplicamos a fórmula quadrática com
,
,
. O discriminante é
Portanto as soluções explícitas são
onde
é a constante arbitrária de integração. Note que, para obter valores reais, é necessário que o discriminante seja não negativo:
Passo 6
Observações finais e dicas para prova:
- A constante
é determinada por uma condição inicial, se houver uma (por exemplo, se soubermos , substituir e em para achar ). - Lembre-se de checar a região onde a solução é válida (não permitir pontos em que
no domínio considerado). - Se for pedir só a forma implícita, a expressão
já é suficiente e costuma ser a resposta mais simples em provas.