Encontre a solução da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
significa
. O que se pede é encontrar a(s) função(ões)
que satisfaz(em) essa equação. Informações relevantes:
- A incógnita é
. - A equação envolve
, então soluções precisam satisfazer quando a raiz for tomada de forma real. - A presença de fator
no lado esquerdo indica que possivelmente é ponto singular (não podemos dividir por zero).
Passo 2
Vamos escrever a derivada explicitamente e separar variáveis. Começando de
dividindo ambos os lados por
(assumindo
) obtemos
Agora separa-se as variáveis para colocar todo termo em
com
e todo termo em
com
:
Este passo usa a ideia do método de separação de variáveis: se uma equação pode ser escrita como
, integra-se cada lado em relação à sua variável.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Precisamos conhecer duas integrais padrão:
- A derivada de
é . Isso pode ser visto fazendo a substituição ou diferenciando implicitamente . - A derivada de
é .
Aplicando as integrais:
onde
é a constante de integração (real).
Passo 4
Isolar
a partir de
. Aplicando a função seno em ambos os lados (função inversa do arco-seno) obtemos
Aqui
é uma constante real arbitrária. Essa expressão dá soluções com
automaticamente, pois seno varia entre
e
.
Passo 5
Observações sobre domínio e soluções constantes:
- A solução geral obtida requer
(pois usamos e ). Assim cada solução está definida em intervalos que não contêm (por exemplo ou ). - Verifique se existem soluções constantes. Se
for constante, então . Da equação original segue , ou seja . Portanto e são soluções constantes (equilíbrios) que não são cobertas por como funções identicamente constantes para todos , embora a forma com seno atinja em pontos isolados.
Passo 6
Exemplo rápido de uso (para fixar a ideia): se tivesse a condição inicial
, então
logo
(
). A escolha
dá a solução particular
.
Passo 7
Resumo das condições de validade e interpretação:
- A família
cobre todas as soluções não-constantes definidas em intervalos onde . - As soluções constantes
e também existem e devem ser listadas separadamente. - Em provas, lembre-se de mencionar
e que .