Encontre a solução da equação diferencial dada.
x y^{\prime}=\left(1-y^{2}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y'=\left(1-y^{2}\right)^{1/2},
onde y' significa \dfrac{dy}{dx}. O que se pede é encontrar a(s) função(ões) y(x) que satisfaz(em) essa equação. Informações relevantes:
  • A incógnita é y(x).
  • A equação envolve \sqrt{1-y^{2}}, então soluções precisam satisfazer |y|\le 1 quando a raiz for tomada de forma real.
  • A presença de fator x no lado esquerdo indica que possivelmente x=0 é ponto singular (não podemos dividir por zero).

Passo 2

Vamos escrever a derivada explicitamente e separar variáveis. Começando de
x\,\frac{dy}{dx}=\sqrt{1-y^{2}},
dividindo ambos os lados por x (assumindo x\neq0) obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{1-y^{2}}}{x}.
Agora separa-se as variáveis para colocar todo termo em y com dy e todo termo em x com dx:
\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{dx}{x}.
Este passo usa a ideia do método de separação de variáveis: se uma equação pode ser escrita como g(y)\,dy=h(x)\,dx, integra-se cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Precisamos conhecer duas integrais padrão:
  • A derivada de \arcsin(y) é \dfrac{d}{dy}\arcsin(y)=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}. Isso pode ser visto fazendo a substituição y=\sin t ou diferenciando implicitamente \sin(\arcsin y)=y.
  • A derivada de \ln|x| é \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}.
Aplicando as integrais:
\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\int \frac{dx}{x}
\Rightarrow \arcsin(y)=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração (real).

Passo 4

Isolar y a partir de \arcsin(y)=\ln|x|+C. Aplicando a função seno em ambos os lados (função inversa do arco-seno) obtemos
y=\sin\!\big(\ln|x|+C\big).
Aqui C é uma constante real arbitrária. Essa expressão dá soluções com |y|\le 1 automaticamente, pois seno varia entre -1 e 1.

Passo 5

Observações sobre domínio e soluções constantes:
  • A solução geral obtida requer x\neq0 (pois usamos \dfrac{1}{x} e \ln|x|). Assim cada solução está definida em intervalos que não contêm 0 (por exemplo x>0 ou x<0).
  • Verifique se existem soluções constantes. Se y for constante, então y'=0. Da equação original x\cdot 0=\sqrt{1-y^{2}} segue \sqrt{1-y^{2}}=0, ou seja y=\pm1. Portanto y(x)\equiv 1 e y(x)\equiv -1 são soluções constantes (equilíbrios) que não são cobertas por y=\sin(\ln|x|+C) como funções identicamente constantes para todos x, embora a forma com seno atinja \pm1 em pontos isolados.

Passo 6

Exemplo rápido de uso (para fixar a ideia): se tivesse a condição inicial y(1)=0, então
0=\sin(\ln|1|+C)=\sin(0+C)=\sin C,
logo C=k\pi ( k\in\mathbb{Z}). A escolha C=0 dá a solução particular y(x)=\sin(\ln|x|).

Passo 7

Resumo das condições de validade e interpretação:
  • A família y(x)=\sin(\ln|x|+C) cobre todas as soluções não-constantes definidas em intervalos onde x\neq0.
  • As soluções constantes y\equiv 1 e y\equiv -1 também existem e devem ser listadas separadamente.
  • Em provas, lembre-se de mencionar x\neq0 e que C\in\mathbb{R}.

Resposta

y(x)=\sin\!\big(\ln|x|+C\big),\\ C\in\mathbb{R},\\ x\neq0\n
y(x)\equiv 1\n
y(x)\equiv -1

Exercícios relacionados