Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em (0,0)
f(x, y)=x^{1 / 3}
(y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função é diferenciável em (0,0). A função dada (vou interpretar o enunciado como) é
f(x,y)=x^{1/3}\,y.
O que nos foi pedido:
  • Determinar se f é diferenciável no ponto (0,0).
Informações relevantes que temos:
  • A expressão explícita de f para (x,y) no plano.
  • O ponto onde se quer testar a diferenciabilidade: (0,0).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0) — primeiro passo prático para investigar diferenciabilidade.
Definição que vamos usar (diferença de quociente):
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},\qquad f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Calcule f_x(0,0):
f(h,0)=h^{1/3}\cdot 0 = 0,\qquad f(0,0)=0,
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f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Calcule f_y(0,0):
f(0,h)=0^{1/3}\cdot h = 0,\qquad f(0,0)=0,
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f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Portanto as derivadas parciais em (0,0) existem e valem
f_x(0,0)=0,\qquad f_y(0,0)=0.

Passo 3

Agora a definição de diferenciabilidade (de forma prática que usamos em prova):
Uma função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L(x,y)=a x+b y tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.
Quando as derivadas parciais existem, o candidato natural para L é
L(x,y)=f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y.
No nosso caso, como f_x(0,0)=f_y(0,0)=0, o candidato é
L(x,y)\equiv 0.
Logo precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.

Passo 4

Estimativa do resto para mostrar que a razão acima tende a zero.
Seja \rho=\sqrt{x^2+y^2} (norma euclidiana de (x,y)). Observações úteis e simples:
|x|\le \rho,\qquad |y|\le \rho.
Agora calcule um limite superior para |f(x,y)|:
|f(x,y)|=|x|^{1/3}\,|y|.
Usando as desigualdades acima,
|x|^{1/3}\le \rho^{1/3},\qquad |y|\le\rho,
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|f(x,y)| \le \rho^{1/3}\cdot \rho = \rho^{4/3}.
Dividindo por \rho (supondo (x,y)\neq(0,0)),
\frac{|f(x,y)|}{\rho} \le \rho^{1/3}.
Como \rho\to0 implica \rho^{1/3}\to0, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{|f(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.
Isto mostra que o resto f(x,y)-L(x,y)=f(x,y) é o(\sqrt{x^2+y^2}), ou seja, a aproximação linear com L\equiv0 é válida.
(Comentário alternativo rápido: em coordenadas polares x=\rho\cos\theta, y=\rho\sin\theta, tem-se |f|=\rho^{4/3}|\cos\theta|^{1/3}|\sin\theta| e novamente |f|/\rho=\rho^{1/3}(\cdots)\to0.)

Passo 5

Concluímos, pelo critério do resto dividido pela norma, que a função admite aproximação linear em (0,0) com L\equiv0. Portanto f é diferenciável em (0,0). Além disso, o diferencial (linear) em (0,0) é a aplicação nula, e as derivadas parciais que encontramos confirmam isso:
Df(0,0)(h,k)=0\cdot h + 0\cdot k = 0.

Resposta

A função f(x,y)=x^{1/3}y é diferenciável em (0,0).

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