Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em (0,0)
f(x, y)=x^{1 / 3}
(y)
f(x, y)=x^{1 / 3}
(y)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função é diferenciável em
. A função dada (vou interpretar o enunciado como) é
O que nos foi pedido:
- Determinar se
é diferenciável no ponto .
Informações relevantes que temos:
- A expressão explícita de
para no plano. - O ponto onde se quer testar a diferenciabilidade:
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais em
— primeiro passo prático para investigar diferenciabilidade.
Definição que vamos usar (diferença de quociente):
Calcule
:
logo
Calcule
:
logo
Portanto as derivadas parciais em
existem e valem
Passo 3
Agora a definição de diferenciabilidade (de forma prática que usamos em prova):
Uma função
é diferenciável em
se existe uma aplicação linear
tal que
Quando as derivadas parciais existem, o candidato natural para
é
No nosso caso, como
, o candidato é
Logo precisamos verificar se
Passo 4
Estimativa do resto para mostrar que a razão acima tende a zero.
Seja
(norma euclidiana de
). Observações úteis e simples:
Agora calcule um limite superior para
:
Usando as desigualdades acima,
logo
Dividindo por
(supondo
),
Como
implica
, segue que
Isto mostra que o resto
é
, ou seja, a aproximação linear com
é válida.
(Comentário alternativo rápido: em coordenadas polares
,
, tem-se
e novamente
.)
Passo 5
Concluímos, pelo critério do resto dividido pela norma, que a função admite aproximação linear em
com
. Portanto
é diferenciável em
. Além disso, o diferencial (linear) em
é a aplicação nula, e as derivadas parciais que encontramos confirmam isso:
Resposta
A função
é diferenciável em
.