Encontre a solução da equação diferencial
(Equação de Euler)
t^{2} y^{\prime \prime}+2 t y^{\prime}+0.25 y=0, \quad t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial (para t>0) e pede a sua solução geral:
t^{2}y'' + 2t y' + 0{,}25\,y = 0,\qquad t>0.
Informações relevantes que temos:
  • É uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que são potências de t.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(t), com constantes arbitrárias de integração.
  • A condição t>0 garante que t^{r} e \ln t estão bem definidos (quando aparecerem).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e motivação):
  • Quando os coeficientes de uma equação linear de segunda ordem têm a forma t^{2},t,1 (isto é, são monômios em t), uma boa tentativa é buscar soluções do tipo y(t)=t^{r}, onde r é um número a determinar.
  • Por quê? Porque derivando t^{r} obtemos potências de t com expoentes relacionados a r, e ao substituir na equação esses fatores em t se combinam, transformando a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica ou indicial).
  • Vamos aplicar essa tentativa: suponha
y(t)=t^{r},
onde r é uma constante a determinar.

Passo 3

Calcular as derivadas de y(t)=t^{r} (passo a passo):
  • Derivada primeira:
y'(t)=r\,t^{r-1}.
  • Derivada segunda:
y''(t)=r(r-1)\,t^{r-2}.
Expliquei: ao derivar t^{r} usamos a regra do poder: \dfrac{d}{dt}t^{r}=r t^{r-1}. Para a segunda derivada aplicamos a regra novamente.

Passo 4

Substituir y,y',y'' na equação e obter a equação característica:
  • Substituição direta em \;t^{2}y''+2t y'+0{,}25y=0\;:
t^{2}\bigl(r(r-1)t^{r-2}\bigr) + 2t\bigl(r t^{r-1}\bigr) + 0{,}25\bigl(t^{r}\bigr)=0.
  • Simplificando fatores de t: todos os termos têm t^{r} em fator comum, pois t^{2}t^{r-2}=t^{r} e t\cdot t^{r-1}=t^{r}. Assim:
t^{r}\bigl(r(r-1) + 2r + 0{,}25\bigr)=0.
  • Como estamos considerando t>0, tem-se t^{r}\neq 0, logo o parêntese deve ser zero. Isso gera a equação característica (quadrática) em r:
r(r-1) + 2r + 0{,}25 = 0.
  • Expandindo:
r^{2} - r + 2r + 0{,}25 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} + r + 0{,}25 = 0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática para r:
  • A equação é \;r^{2}+r+0{,}25=0.
  • Calcular o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2} - 4\cdot 1 \cdot 0{,}25 = 1 - 1 = 0.
  • Como \Delta=0, a equação tem uma raiz dupla (uma única solução para r):
r = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2} = -\tfrac{1}{2}.
  • Conclusão: o método y=t^{r} fornece apenas uma solução independente y_{1}(t)=t^{-\tfrac{1}{2}}. Para ter a solução geral precisamos de uma segunda solução linearmente independente; quando a raiz é dupla, a segunda solução tem forma especial (vai aparecer no passo seguinte).

Passo 6

Obter a segunda solução independente (motivação e derivação via limite — argumento didático simples):
  • Para raízes distintas r_{1} e r_{2} da característica, as soluções são t^{r_{1}} e t^{r_{2}}. Quando as raízes se aproximam, a segunda solução independente tende a envolver \ln t.
  • Mais formalmente, suponha raízes r e r+h. A combinação t^{r+h}=t^{r}t^{h}=t^{r}e^{h\ln t}. Expandindo em série para h pequeno:
t^{r+h}=t^{r}\bigl(1 + h\ln t + O(h^{2})\bigr).
  • Quando h\to 0 (isto é, quando as raízes coincidem), a parte independente que aparece além de t^{r} é proporcional a t^{r}\ln t. Portanto, para o caso de raiz dupla r=-\tfrac{1}{2}, uma segunda solução independente é
y_{2}(t)=t^{-\tfrac{1}{2}}\ln t.
  • Observação rápida: esse argumento é suficiente e muito usado em provas/exames; uma demonstração alternativa é feita por redução de ordem, que leva ao mesmo resultado.

Passo 7

Escrever a solução geral e interpretar constantes:
  • Como temos duas soluções independentes y_{1}(t)=t^{-\tfrac{1}{2}} e y_{2}(t)=t^{-\tfrac{1}{2}}\ln t, a combinação linear geral (solução geral da equação homogênea) é
y(t) = C_{1}\,t^{-\tfrac{1}{2}} + C_{2}\,t^{-\tfrac{1}{2}}\ln t.
  • Podemos factorar t^{-\tfrac{1}{2}} para ficar mais compacto:
y(t) = \bigl(C_{1} + C_{2}\ln t\bigr)\,t^{-\tfrac{1}{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais determinadas por condições iniciais (se houver).
  • Comentário final e dica para prova: como t>0 não há problema com \ln t. Na hora da prova, calcule a equação característica e veja o caso do discriminante: se \Delta>0 há duas potências t^{r}, se \Delta=0 aparece o fator \ln t como aqui, se \Delta<0 as soluções são combinações de t^{\alpha}\cos(\beta\ln t) e t^{\alpha}\sin(\beta\ln t) — tudo seguindo a mesma ideia de raízes complexas.

Resposta

y(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}\ln t\bigr)\,t^{-\tfrac{1}{2}}

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