Encontre a solução da equação diferencial
(Equação de Euler)
(Equação de Euler)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial (para
) e pede a sua solução geral:
Informações relevantes que temos:
- É uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que são potências de
. - O objetivo é encontrar a solução geral
, com constantes arbitrárias de integração. - A condição
garante que e estão bem definidos (quando aparecerem).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e motivação):
- Quando os coeficientes de uma equação linear de segunda ordem têm a forma
(isto é, são monômios em ), uma boa tentativa é buscar soluções do tipo , onde é um número a determinar. - Por quê? Porque derivando
obtemos potências de com expoentes relacionados a , e ao substituir na equação esses fatores em se combinam, transformando a equação diferencial numa equação algébrica para (a chamada equação característica ou indicial). - Vamos aplicar essa tentativa: suponha
onde
é uma constante a determinar.
Passo 3
Calcular as derivadas de
(passo a passo):
- Derivada primeira:
- Derivada segunda:
Expliquei: ao derivar
usamos a regra do poder:
. Para a segunda derivada aplicamos a regra novamente.
Passo 4
Substituir
na equação e obter a equação característica:
- Substituição direta em
:
- Simplificando fatores de
: todos os termos têm em fator comum, pois e . Assim:
- Como estamos considerando
, tem-se , logo o parêntese deve ser zero. Isso gera a equação característica (quadrática) em :
- Expandindo:
Passo 5
Resolver a equação quadrática para
:
- A equação é
. - Calcular o discriminante
:
- Como
, a equação tem uma raiz dupla (uma única solução para ):
- Conclusão: o método
fornece apenas uma solução independente . Para ter a solução geral precisamos de uma segunda solução linearmente independente; quando a raiz é dupla, a segunda solução tem forma especial (vai aparecer no passo seguinte).
Passo 6
Obter a segunda solução independente (motivação e derivação via limite — argumento didático simples):
- Para raízes distintas
e da característica, as soluções são e . Quando as raízes se aproximam, a segunda solução independente tende a envolver . - Mais formalmente, suponha raízes
e . A combinação . Expandindo em série para pequeno:
- Quando
(isto é, quando as raízes coincidem), a parte independente que aparece além de é proporcional a . Portanto, para o caso de raiz dupla , uma segunda solução independente é
- Observação rápida: esse argumento é suficiente e muito usado em provas/exames; uma demonstração alternativa é feita por redução de ordem, que leva ao mesmo resultado.
Passo 7
Escrever a solução geral e interpretar constantes:
- Como temos duas soluções independentes
e , a combinação linear geral (solução geral da equação homogênea) é
- Podemos factorar
para ficar mais compacto:
onde
e
são constantes arbitrárias reais determinadas por condições iniciais (se houver).
- Comentário final e dica para prova: como
não há problema com . Na hora da prova, calcule a equação característica e veja o caso do discriminante: se há duas potências , se aparece o fator como aqui, se as soluções são combinações de e — tudo seguindo a mesma ideia de raízes complexas.