Resolva o PVI.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI):
y''-2y'-3y=3t e^{2t},\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=1.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais dadas.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação diferencial é linear e não-homogênea: y''-2y'-3y=3t e^{2t}.
  • A função forçante é 3t e^{2t} (produto de polinômio de grau 1 por e^{2t}).
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=1.

Passo 2

Primeiro passo técnico: resolver a equação homogênea associada para obter a solução geral do homogêneo. Substitui-se a solução tentativa y=e^{rt} na homogênea
y''-2y'-3y=0.
Isso gera a equação característica
r^{2}-2r-3=0.
Resolver a quadrática: fatorando,
r^{2}-2r-3=(r-3)(r+1)=0,
logo as raízes são r=3 e r=-1. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) para a parte não-homogênea com termo direito 3t e^{2t}. Explico a escolha do método e do ansatz:
  • A técnica de “coeficientes indeterminados” é apropriada porque o lado direito é combinação de polinômio e exponencial.
  • Em geral, para um termo da forma P(t)e^{\alpha t} (onde P é polinômio), tenta-se y_p(t)=e^{\alpha t}Q(t) com Q polinômio do mesmo grau que P, multiplicado por t^{s} se \alpha for raiz da equação característica com multiplicidade s.
  • Aqui P(t)=3t é grau 1 e \alpha=2. A raiz r=2 NÃO está entre \{3,-1\}, então não é necessário multiplicar por t. Assim escolhemos
y_p(t)=e^{2t}(a t + b),
com a,b constantes desconhecidas a determinar.

Passo 4

Calcular y_p' e y_p'' passo a passo (usar regra do produto e derivada de e^{2t}):
Começando de
y_p(t)=e^{2t}(a t + b).
Derivando,
y_p'(t)=2e^{2t}(a t + b)+e^{2t}a = e^{2t}\bigl(2a t + (a+2b)\bigr).
Derivando de novo,
y_p''(t)=2e^{2t}\bigl(2a t + (a+2b)\bigr)+e^{2t}\cdot 2a = e^{2t}\bigl(4a t + 4a +4b\bigr)=e^{2t}\bigl(4a t +4(a+b)\bigr).

Passo 5

Substituir y_p,y_p',y_p'' na expressão da equação diferencial esquerda y''-2y'-3y e fatorar e^{2t}:
\begin{aligned} y_p''-2y_p'-3y_p &= e^{2t}\bigl(4a t +4(a+b)\bigr) -2e^{2t}\bigl(2a t + (a+2b)\bigr) -3e^{2t}\bigl(a t + b\bigr)\\[4pt] &= e^{2t}\Bigl[\bigl(4a-4a-3a\bigr)t + \bigl(4(a+b)-2(a+2b)-3b\bigr)\Bigr]. \end{aligned}
Agora simplificar coeficientes:
  • Coeficiente de t: 4a-4a-3a=-3a.
  • Termo constante: 4(a+b)-2(a+2b)-3b = 4a+4b-2a-4b-3b = 2a-3b.
    Portanto
y_p''-2y_p'-3y_p = e^{2t}\bigl((-3a)t + (2a-3b)\bigr).]

Passo 6

Impor que a expressão acima seja igual ao lado direito 3t e^{2t}. Igualando coeficientes (pois e^{2t} é comum):
(-3a)t + (2a-3b) = 3t + 0.
Comparando coeficientes de t e termo constante obtemos o sistema
-3a=3,\qquad 2a-3b=0.
Da primeira equação a=-1. Substituindo na segunda:
2(-1)-3b=0 \implies -2-3b=0 \implies b=-\tfrac{2}{3}.
Logo a solução particular é
y_p(t)=e^{2t}\bigl(-t -\tfrac{2}{3}\bigr) = -t e^{2t} - \tfrac{2}{3}e^{2t}.

Passo 7

A solução geral do PVI é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t}-t e^{2t}-\tfrac{2}{3}e^{2t}.
Aplicar y(0)=1. Avaliando em t=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}-0-\tfrac{2}{3}=1.
Logo
C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3}.

Passo 8

Agora usar y'(0)=1. Primeiro calcular y'(t). Derivando a expressão geral:
y'(t)=3C_{1}e^{3t}-C_{2}e^{-t} + \bigl(y_p'(t)\bigr).
Já tínhamos y_p'(t)=e^{2t}\bigl(2a t + (a+2b)\bigr) com a=-1 e b=-\tfrac{2}{3}. Substituindo esses valores:
y_p'(t)=e^{2t}\bigl(-2t -\tfrac{7}{3}\bigr).
Portanto
y'(t)=3C_{1}e^{3t}-C_{2}e^{-t} + e^{2t}\bigl(-2t -\tfrac{7}{3}\bigr).
Avaliar em t=0:
y'(0)=3C_{1}-C_{2}-\tfrac{7}{3}=1.
Assim
3C_{1}-C_{2}=\tfrac{10}{3}.

Passo 9

Resolver o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3},\\[4pt] 3C_{1}-C_{2}=\tfrac{10}{3}. \end{cases}
Somando as duas equações:
4C_{1}=\tfrac{5}{3}+\tfrac{10}{3}=\tfrac{15}{3}=5 \implies C_{1}=\tfrac{5}{4}.
Então
C_{2}=\tfrac{5}{3}-C_{1}=\tfrac{5}{3}-\tfrac{5}{4}=\tfrac{20-15}{12}=\tfrac{5}{12}.]

Passo 10

Substituir C_{1} e C_{2} na solução geral para obter a solução final:
y(t)=\tfrac{5}{4}e^{3t}+\tfrac{5}{12}e^{-t}-t e^{2t}-\tfrac{2}{3}e^{2t}.
Pode-se também agrupar os termos em e^{2t}:
y(t)=\tfrac{5}{4}e^{3t}+\tfrac{5}{12}e^{-t}-e^{2t}\Bigl(t+\tfrac{2}{3}\Bigr).

Resposta

y(t)=\tfrac{5}{4}e^{3t}+\tfrac{5}{12}e^{-t}-e^{2t}\Bigl(t+\tfrac{2}{3}\Bigr).

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