Resolva o PVI.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI):
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e as condições iniciais dadas.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A equação diferencial é linear e não-homogênea:
. - A função forçante é
(produto de polinômio de grau por ). - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Primeiro passo técnico: resolver a equação homogênea associada para obter a solução geral do homogêneo. Substitui-se a solução tentativa
na homogênea
Isso gera a equação característica
Resolver a quadrática: fatorando,
logo as raízes são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para a parte não-homogênea com termo direito
. Explico a escolha do método e do ansatz:
- A técnica de “coeficientes indeterminados” é apropriada porque o lado direito é combinação de polinômio e exponencial.
- Em geral, para um termo da forma
(onde é polinômio), tenta-se com polinômio do mesmo grau que , multiplicado por se for raiz da equação característica com multiplicidade . - Aqui
é grau e . A raiz NÃO está entre , então não é necessário multiplicar por . Assim escolhemos
com
constantes desconhecidas a determinar.
Passo 4
Calcular
e
passo a passo (usar regra do produto e derivada de
):
Começando de
Começando de
Derivando,
Derivando de novo,
Passo 5
Substituir
na expressão da equação diferencial esquerda
e fatorar
:
Agora simplificar coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Portanto
Passo 6
Impor que a expressão acima seja igual ao lado direito
. Igualando coeficientes (pois
é comum):
Comparando coeficientes de
e termo constante obtemos o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Logo a solução particular é
Passo 7
A solução geral do PVI é a soma da homogênea com a particular:
Aplicar
. Avaliando em
:
Logo
Passo 8
Agora usar
. Primeiro calcular
. Derivando a expressão geral:
Já tínhamos
com
e
. Substituindo esses valores:
Portanto
Avaliar em
:
Assim
Passo 9
Resolver o sistema linear para
:
Somando as duas equações:
Então
Passo 10
Substituir
e
na solução geral para obter a solução final:
Pode-se também agrupar os termos em
: