Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:
f) \left(x^{2}+1\right) y^{\prime}+3 \mathrm{x}(\mathrm{y}-1)=0, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial seguintes:
\left(x^{2}+1\right)y'+3x(y-1)=0, \qquad y(0)=2.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação diferencial para x no domínio apropriado (aqui x\in\mathbb{R}) e que também satisfaça a condição inicial y(0)=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve y' (derivada de y em relação a x), termos em y e funções de x.
  • A condição inicial é y(0)=2.

Passo 2

Colocar a equação numa forma mais clara. Primeiro distribuo o termo com y:
\left(x^{2}+1\right)y' + 3x y - 3x = 0.
Agora isolo y' dividindo por x^{2}+1 (note que x^{2}+1>0 para todo x, então a divisão é válida):
y' + \frac{3x}{x^{2}+1}\,y = \frac{3x}{x^{2}+1}.
Aqui escrevi a equação no formato padrão
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde, neste problema,
P(x)=\frac{3x}{x^{2}+1},\qquad Q(x)=\frac{3x}{x^{2}+1}.

Passo 3

Explicação do método (aula curta e amigável): para uma equação de primeira ordem na forma y'+P(x)y=Q(x), usa-se o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
A razão: multiplicando a equação por \mu(x) faz com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y(x), isto é,
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y'+\mu' y=\mu\big(y'+P(x)y\big).
Isso transforma a equação diferencial numa forma integrável diretamente:
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu Q(x).

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Temos
\int P(x)\,dx=\int \frac{3x}{x^{2}+1}\,dx.
Faço a integral passo a passo. Uma substituição óbvia é u=x^{2}+1, então du=2x\,dx, logo x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{3x}{x^{2}+1}\,dx = 3\int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = 3\cdot\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{3}{2}\ln|u| + C.
Substituindo u=x^{2}+1 e removendo o valor absoluto porque x^{2}+1>0, obtemos
\int P(x)\,dx=\frac{3}{2}\ln(x^{2}+1).
Portanto
\mu(x)=\exp\!\left(\frac{3}{2}\ln(x^{2}+1)\right).
Uso a identidade \exp(a\ln b)=b^{a} para simplificar:
\mu(x)=(x^{2}+1)^{3/2}.

Passo 5

Multiplico a equação original pela fator integrante \mu(x). A equação y' + P(x)y = Q(x) multiplicada por \mu fica
\mu y' + \mu P y = \mu Q.
Pelo motivo explicado no Passo 3, o lado esquerdo é a derivada de \mu y. Substituindo \mu=(x^{2}+1)^{3/2} e Q=\dfrac{3x}{x^{2}+1}, obtemos
\frac{d}{dx}\big((x^{2}+1)^{3/2} \, y\big) = (x^{2}+1)^{3/2}\cdot\frac{3x}{x^{2}+1}.
Simplifico o lado direito:
(x^{2}+1)^{3/2}\cdot\frac{3x}{x^{2}+1}=3x (x^{2}+1)^{1/2}.
Portanto
\frac{d}{dx}\big((x^{2}+1)^{3/2} \, y\big)=3x (x^{2}+1)^{1/2}.

Passo 6

Agora integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big((x^{2}+1)^{3/2} \, y\big)\,dx = \int 3x (x^{2}+1)^{1/2}\,dx.
O lado esquerdo integra diretamente para (x^{2}+1)^{3/2} y mais constante. Faço a integral do lado direito usando de novo u=x^{2}+1, du=2x\,dx, então 3x\,dx=\dfrac{3}{2}\,du. Assim
\int 3x (x^{2}+1)^{1/2}\,dx = \frac{3}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = u^{3/2}+C.
Voltando a x,
\int 3x (x^{2}+1)^{1/2}\,dx = (x^{2}+1)^{3/2} + C.
Portanto da integração temos
(x^{2}+1)^{3/2}\,y = (x^{2}+1)^{3/2} + C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 7

Isolo y dividindo por (x^{2}+1)^{3/2}:
y = 1 + C (x^{2}+1)^{-3/2}.
Isso já é a solução geral da equação diferencial em termos da constante C.

Passo 8

Usar a condição inicial y(0)=2 para determinar C. Substituo x=0 em y:
y(0)=1 + C (0^{2}+1)^{-3/2} = 1 + C\cdot 1 = 1 + C.
A condição diz y(0)=2, logo
1 + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C=1.

Passo 9

Substituo C=1 na solução geral. Assim a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=1+(x^{2}+1)^{-3/2}.

Resposta

y(x)=1+(x^{2}+1)^{-3/2}

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