Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:
f)
f)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial seguintes:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz essa equação diferencial para
no domínio apropriado (aqui
) e que também satisfaça a condição inicial
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve
(derivada de em relação a ), termos em e funções de . - A condição inicial é
.
Passo 2
Colocar a equação numa forma mais clara. Primeiro distribuo o termo com
:
Agora isolo
dividindo por
(note que
para todo
, então a divisão é válida):
Aqui escrevi a equação no formato padrão
onde, neste problema,
Passo 3
Explicação do método (aula curta e amigável): para uma equação de primeira ordem na forma
, usa-se o fator integrante
definido por
A razão: multiplicando a equação por
faz com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
, isto é,
Isso transforma a equação diferencial numa forma integrável diretamente:
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Temos
Faço a integral passo a passo. Uma substituição óbvia é
, então
, logo
. Assim
Substituindo
e removendo o valor absoluto porque
, obtemos
Portanto
Uso a identidade
para simplificar:
Passo 5
Multiplico a equação original pela fator integrante
. A equação
multiplicada por
fica
Pelo motivo explicado no Passo 3, o lado esquerdo é a derivada de
. Substituindo
e
, obtemos
Simplifico o lado direito:
Portanto
Passo 6
Agora integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra diretamente para
mais constante. Faço a integral do lado direito usando de novo
,
, então
. Assim
Voltando a
,
Portanto da integração temos
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 7
Isolo
dividindo por
:
Isso já é a solução geral da equação diferencial em termos da constante
.
Passo 8
Usar a condição inicial
para determinar
. Substituo
em
:
A condição diz
, logo
Passo 9
Substituo
na solução geral. Assim a solução particular que satisfaz a condição inicial é