Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:
b)
,
b)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial para valores de
onde a equação faz sentido e que também satisfaça a condição inicial
.
Informações relevantes dadas:
- A equação envolve
(derivada de em relação a ) e termos com potências de . - A condição inicial está em
, que é um ponto onde .
Passo 2
Observar a estrutura do lado esquerdo da equação. Lembrar do produto e da regra da derivada: se
e
são funções, então
Aqui, tomar
e
. Calculando a derivada do produto:
Esse resultado é exatamente o lado esquerdo da equação fornecida. Logo a equação pode ser reescrita como uma derivada total simples:
Essa observação simplifica muito a resolução porque transforma a equação diferencial em uma igualdade entre derivadas conhecida.
Passo 3
Integrar ambos os lados em relação a
. Como o lado esquerdo é a derivada de
, temos
A integral do lado esquerdo é
(mais uma constante), e a integral do lado direito é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Isolar
dividindo por
. Como a condição inicial está em
(ponto onde
), a divisão por
é permitida no intervalo que contenha
. Assim
Passo 5
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Substituir
e
na fórmula geral:
Como
, obtemos
Passo 6
Com
, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Comentário sobre domínio: essa solução é válida para
. Como a condição inicial está em
, a solução vale em um intervalo que contém
e não contém
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): calcular
com
. Tem-se
e, portanto,
, que coincide com a equação original, confirmando que a solução está correta.