Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:
b) x^{3} y^{\prime}+3 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}=\cos x, y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
x^{3} y^{\prime}+3 x^{2} y=\cos x, \qquad y(\pi)=0.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial para valores de x onde a equação faz sentido e que também satisfaça a condição inicial y(\pi)=0.
Informações relevantes dadas:
  • A equação envolve y' (derivada de y em relação a x) e termos com potências de x.
  • A condição inicial está em x=\pi, que é um ponto onde x\neq0.

Passo 2

Observar a estrutura do lado esquerdo da equação. Lembrar do produto e da regra da derivada: se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui, tomar u(x)=x^{3} e v(x)=y(x). Calculando a derivada do produto:
(x^{3}y)' = (x^{3})'y + x^{3}y' = 3x^{2}y + x^{3}y'.
Esse resultado é exatamente o lado esquerdo da equação fornecida. Logo a equação pode ser reescrita como uma derivada total simples:
\bigl(x^{3}y\bigr)' = \cos x.
Essa observação simplifica muito a resolução porque transforma a equação diferencial em uma igualdade entre derivadas conhecida.

Passo 3

Integrar ambos os lados em relação a x. Como o lado esquerdo é a derivada de x^{3}y, temos
\int \bigl(x^{3}y\bigr)'\,dx = \int \cos x\,dx.
A integral do lado esquerdo é x^{3}y (mais uma constante), e a integral do lado direito é \sin x. Portanto
x^{3}y = \sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolar y dividindo por x^{3}. Como a condição inicial está em x=\pi (ponto onde x\neq0), a divisão por x^{3} é permitida no intervalo que contenha \pi. Assim
y(x) = \frac{\sin x + C}{x^{3}}.

Passo 5

Determinar a constante C usando a condição inicial y(\pi)=0. Substituir x=\pi e y=0 na fórmula geral:
0 = y(\pi) = \frac{\sin \pi + C}{\pi^{3}}.
Como \sin \pi = 0, obtemos
0 = \frac{0 + C}{\pi^{3}} \quad\Rightarrow\quad C=0.

Passo 6

Com C=0, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x) = \frac{\sin x}{x^{3}}.
Comentário sobre domínio: essa solução é válida para x\neq0. Como a condição inicial está em x=\pi, a solução vale em um intervalo que contém \pi e não contém 0.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): calcular (x^{3}y)' com y=\dfrac{\sin x}{x^{3}}. Tem-se x^{3}y=\sin x e, portanto, (x^{3}y)'=\cos x, que coincide com a equação original, confirmando que a solução está correta.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{\sin x}{x^{3}}

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