Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:
c)
,
c)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. As informações são:
- Equação:
, com . - Condição inicial:
.
O que precisa ser encontrado: a função
definida para
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos primeiro colocar a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem, ou seja, isolando
e escrevendo na forma
.
Partindo de
dividindo ambos os lados por
(permitido pois
):
Reorganizando para a forma padrão:
Aqui identificamos
e
.
Passo 3
Vou explicar o método do fator integrante (integrating factor), que é a técnica padrão para resolver equações lineares de primeira ordem.
Regra: para a equação
o fator integrante é
Multiplicando a equação por
transforma o lado esquerdo na derivada do produto
, ou seja,
No nosso caso
. Então
Usando a identidade
, obtemos
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. A equação
fica
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque
Portanto obtemos a equação simples
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra diretamente para
. No lado direito,
é uma integral básica: para
com
, o resultado é
. Aqui
, então
Assim,
onde
é a constante de integração.
Multiplicando por
para isolar
:
Esta é a solução geral da equação diferencial, dependendo da constante
.
Passo 6
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na solução geral:
Igualando a
(pela condição inicial):
Somando
aos dois lados:
Passo 7
Como verificação rápida (útil na prova): com
tem-se
Então
enquanto
logo a igualdade da equação diferencial é satisfeita para qualquer
. Com
a condição inicial também é satisfeita, então a solução obtida está correta.