Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:
c) x y^{\prime}=x^{2}+3 y, x>0 \quad y(2)=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. As informações são:
  • Equação: x\,y^{\prime}=x^{2}+3y, com x>0.
  • Condição inicial: y(2)=4.
O que precisa ser encontrado: a função y(x) definida para x>0 que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos primeiro colocar a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem, ou seja, isolando y^{\prime} e escrevendo na forma y^{\prime}+p(x)\,y=q(x).
Partindo de
x\,y^{\prime}=x^{2}+3y,
dividindo ambos os lados por x (permitido pois x>0):
y^{\prime}=\;x+\frac{3}{x}\,y.
Reorganizando para a forma padrão:
y^{\prime}-\frac{3}{x}\,y = x.
Aqui identificamos p(x)=-\dfrac{3}{x} e q(x)=x.

Passo 3

Vou explicar o método do fator integrante (integrating factor), que é a técnica padrão para resolver equações lineares de primeira ordem.
Regra: para a equação
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x),
o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Multiplicando a equação por \mu(x) transforma o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)\,y(x), ou seja,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)=\mu(x)\,q(x).
No nosso caso p(x)=-\dfrac{3}{x}. Então
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{3}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(-3\ln x\big).
Usando a identidade \exp(a\ln b)=b^{a}, obtemos
\mu(x)=x^{-3}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^{-3}. A equação y^{\prime}-\dfrac{3}{x}y=x fica
x^{-3}y^{\prime}-3x^{-4}y = x^{-2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(x^{-3}y\big), porque
\frac{d}{dx}\big(x^{-3}y\big)=x^{-3}y^{\prime}+(-3)x^{-4}y.
Portanto obtemos a equação simples
\frac{d}{dx}\big(x^{-3}y\big)=x^{-2}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-3}y\big)\,dx = \int x^{-2}\,dx.
O lado esquerdo integra diretamente para x^{-3}y. No lado direito, \int x^{-2}\,dx é uma integral básica: para \int x^{n}\,dx com n\neq -1, o resultado é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
Assim,
x^{-3}y = -x^{-1} + C,
onde C é a constante de integração.
Multiplicando por x^{3} para isolar y:
y = -x^{2} + C x^{3}.
Esta é a solução geral da equação diferencial, dependendo da constante C.

Passo 6

Agora usamos a condição inicial y(2)=4 para determinar C. Substituindo x=2 na solução geral:
y(2) = -2^{2} + C\cdot 2^{3} = -4 + 8C.
Igualando a 4 (pela condição inicial):
-4 + 8C = 4.
Somando 4 aos dois lados:
8C = 8 \quad\Rightarrow\quad C=1.

Passo 7

Como verificação rápida (útil na prova): com y(x)=-x^{2}+C x^{3} tem-se
y^{\prime}(x) = -2x + 3C x^{2}.
Então
x\,y^{\prime} = x(-2x + 3C x^{2}) = -2x^{2} + 3C x^{3},
enquanto
x^{2}+3y = x^{2} + 3(-x^{2}+C x^{3}) = -2x^{2} + 3C x^{3},
logo a igualdade da equação diferencial é satisfeita para qualquer C. Com C=1 a condição inicial também é satisfeita, então a solução obtida está correta.

Resposta

y(x) = -x^{2} + x^{3},\qquad x>0

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