Encontre a solução para a equação diferencial
y^{\prime \prime}+9 y=0 ; \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
y'' + 9y = 0,
com
y(0)=1,\qquad y'(0)=1.
Informações dadas: a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes e duas condições iniciais em x=0. O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Qual é o método que vamos usar? Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo). Essa tentativa transforma a equação diferencial numa equação algébrica chamada equação característica — é uma técnica bem útil na prova porque reduz diferencial para álgebra. Não vou pular etapas: vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} em y''+9y=0 temos:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^2 e^{r x}.
Colocando na equação:
r^2 e^{r x} + 9 e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por ele e obter a equação característica:
r^2 + 9 = 0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação característica:
r^2 + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad r^2 = -9 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 3i.
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas \,r=\alpha\pm i\beta com \alpha=0 e \beta=3. Há um resultado padrão (vou explicar de forma curta e prática): quando as raízes são 0\pm 3i, a solução geral real da equação diferencial é uma combinação linear de cosseno e seno:
y(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x),
onde C_1 e C_2 são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. (Breve justificativa: as soluções complexas e^{3ix} e e^{-3ix} geram, pela fórmula de Euler, combinações reais \cos(3x) e \sin(3x).)

Passo 5

Vamos diferenciar a solução geral para usar a condição sobre y'(0). Se
y(x)=C_1\cos(3x)+C_2\sin(3x),
então derivando:
y'(x) = -3C_1\sin(3x) + 3C_2\cos(3x).
Aqui expliquei cada termo: derivada de \cos(3x) é -\sin(3x) multiplicada pela derivada interna 3, e análogo para \sin(3x).

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=1. Avaliando y(0):
y(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Portanto
C_1 = 1.
Segundo, y'(0)=1. Avaliando y'(0):
y'(0) = -3C_1\sin(0) + 3C_2\cos(0) = -3C_1\cdot 0 + 3C_2\cdot 1 = 3C_2.
Logo
3C_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac{1}{3}.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=\cos(3x)+\frac{1}{3}\sin(3x).

Passo 8

Pequena verificação (opcional, mas útil para a prova): calculando y''+9y com essa y deve dar zero. Derivando novamente e simplificando você encontra que os termos se cancelam — isso confirma que a solução está correta. Também verifique y(0)=1 e y'(0)=1 rapidamente usando \cos(0)=1 e \sin(0)=0.

Resposta

y(x)=\cos(3x)+\frac{1}{3}\sin(3x)

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