Encontre a solução para a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
com
Informações dadas: a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes e duas condições iniciais em
. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Qual é o método que vamos usar? Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo). Essa tentativa transforma a equação diferencial numa equação algébrica chamada equação característica — é uma técnica bem útil na prova porque reduz diferencial para álgebra. Não vou pular etapas: vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Substituindo
em
temos:
Colocando na equação:
Como
nunca é zero, podemos dividir por ele e obter a equação característica:
Passo 4
Agora resolvemos a equação característica:
Ou seja, as raízes são complexas conjugadas
com
e
. Há um resultado padrão (vou explicar de forma curta e prática): quando as raízes são
, a solução geral real da equação diferencial é uma combinação linear de cosseno e seno:
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. (Breve justificativa: as soluções complexas
e
geram, pela fórmula de Euler, combinações reais
e
.)
Passo 5
Vamos diferenciar a solução geral para usar a condição sobre
. Se
então derivando:
Aqui expliquei cada termo: derivada de
é
multiplicada pela derivada interna
, e análogo para
.
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro
. Avaliando
:
Portanto
Segundo,
. Avaliando
:
Logo
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Passo 8
Pequena verificação (opcional, mas útil para a prova): calculando
com essa
deve dar zero. Derivando novamente e simplificando você encontra que os termos se cancelam — isso confirma que a solução está correta. Também verifique
e
rapidamente usando
e
.