Questão 26. Considere a EDO linear não-homogênea de coeficientes não-constantes
(\star) \quad t^{2} y^{\prime \prime}+t y^{\prime}-y=t
(a) Verifique que y_{1}(t)=t é solução particular da equação homogênea associada a (\star), isto é, y_{1} é solução de
(\star \star) \quad t^{2} y^{\prime \prime}+t y^{\prime}-y=0
(b) Determine uma função u=u(t), duas vezes diferenciável, tal que y_{2}(t)=t u(t) também seja uma solução particular de ( * \star ).
(c) O Método de Variação de Parâmetros resolve qualquer tipo de equação diferencial linear não-homogênea, mesmo que os coeficientes não sejam constantes. Se conhecermos as soluções particulares da equação homogênea associada, basta determinar a solução particular y_{p} de maneira análoga ao que é feito quando os coeficientes da equação são constantes. Sabendo disto, use o método de variação de parâmetros para determinar a solução de ( \star ).

Passo 1

O enunciado pede três coisas distintas:
  1. Verificar que y_{1}(t)=t é solução da equação homogênea
(\star\star)\quad t^{2}y''+ty'-y=0.
  1. Determinar uma função u=u(t), duas vezes diferenciável, tal que y_{2}(t)=t\,u(t) também seja solução da equação homogênea (\star\star).
  2. Usar o método de variação de parâmetros para resolver a equação não-homogênea
(\star)\quad t^{2}y''+ty'-y=t,
ou seja, encontrar a solução geral de (\star).
As informações relevantes são a própria equação (\star) e a proposta de y_{1}(t)=t. Não há figura ou dados externos.

Passo 2

Verificação direta de que y_{1}(t)=t satisfaz (\star\star).
Calcule as derivadas:
y_{1}'(t)=1,\qquad y_{1}''(t)=0.
Substituindo em (\star\star),
t^{2}\cdot 0 + t\cdot 1 - t = t - t = 0.
Portanto \,y_{1}(t)=t é de fato solução de (\star\star).

Passo 3

Encontrar a segunda solução da homogênea por redução de ordem: procuramos y(t)=t\,u(t) com u duas vezes diferenciável.
Vamos calcular derivadas de y=t u(t). Usando regra do produto,
y'=u + t u',\qquad y''=2u' + t u''.
Agora substituímos em (\star\star):
t^{2}(2u' + t u'') + t(u + t u') - t u = 0.
Desenvolvendo:
2t^{2}u' + t^{3}u'' + t u + t^{2}u' - t u = 0.
Os termos t u se cancelam, sobrando
t^{3}u'' + 3 t^{2}u' = 0.
Podemos fatorar t^{2} (assumindo t\neq 0):
t^{2}\big(t u'' + 3 u'\big)=0 \quad\Longrightarrow\quad t u'' + 3 u' = 0.

Passo 4

Resolver a equação para u. Defina w(t)=u'(t). Então w'\!=u'' e a equação vira
t w' + 3 w = 0.
Esta é uma equação linear de primeira ordem ou separável. Colocando em forma separável:
\frac{w'}{w} = -\frac{3}{t}.
Integrando ambos os lados:
\ln|w| = -3\ln|t| + C_1 \quad\Longrightarrow\quad w(t)=C t^{-3},
onde C é constante arbitrária ( C=e^{C_1}).
Integrando w=u' para obter u:
u(t)=\int w(t)\,dt = \int C t^{-3}\,dt = C\left(-\tfrac{1}{2}t^{-2}\right) + C_2.
Logo a forma geral é
u(t)=C_2 - \tfrac{C}{2} t^{-2},
com C,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 5

Escolhendo constantes para obter uma segunda solução independente de y_{1}: se tomarmos, por exemplo, C_2=0 e -\tfrac{C}{2}=1 (ou seja C=-2), então
u(t)=t^{-2}.
Então
y_{2}(t)=t\,u(t)=t\cdot t^{-2}=t^{-1}.
Portanto y_{2}(t)=t^{-1} é uma segunda solução independente da homogênea. (A forma geral de u com constantes simplesmente gera combinações lineares que incluem múltiplos de y_{1}; para uma segunda solução independente podemos escolher u=t^{-2}.)

Passo 6

Preparar a variação de parâmetros para a equação não-homogênea (\star).
Primeiro colocamos a EDO em forma padrão dividindo por t^{2} (novamente t\neq 0):
y'' + \frac{1}{t}y' - \frac{1}{t^{2}}y = \frac{t}{t^{2}} = \frac{1}{t}.
Escrevemos a solução geral como
y(t)=C_{1}y_{1}(t)+C_{2}y_{2}(t)+y_{p}(t),
onde y_{1}=t,\; y_{2}=t^{-1} e y_{p} é uma solução particular que vamos obter por variação de parâmetros na forma
y_{p}=v_{1}(t)y_{1}(t)+v_{2}(t)y_{2}(t).
As condições usuais do método são
v_{1}'y_{1}+v_{2}'y_{2}=0,
v_{1}'y_{1}'+v_{2}'y_{2}'=\frac{1}{t},
sendo que a segunda igualdade vem do lado direito da equação padrão.

Passo 7

Calcular o Wronskiano e as fórmulas para v_{1}' e v_{2}'.
O Wronskiano das soluções homogêneas é
W(t)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} t & t^{-1} \\\\ 1 & -t^{-2} \end{vmatrix} = t\cdot(-t^{-2}) - t^{-1}\cdot 1 = -t^{-1} - t^{-1} = -\frac{2}{t}.
As fórmulas de variação de parâmetros (para a equação na forma a_{2}(t)y''+a_{1}(t)y'+a_{0}(t)y=f(t)) podem ser escritas, no nosso caso com a_{2}(t)=t^{2} e f(t)=t, como
v_{1}' = -\frac{f(t)\,y_{2}}{a_{2}(t)W(t)},\qquad v_{2}' = \frac{f(t)\,y_{1}}{a_{2}(t)W(t)}.
Substituindo f(t)=t,\; a_{2}(t)=t^{2},\; y_{1}=t,\; y_{2}=t^{-1},\; W=-2/t:
Calcule v_{1}':
v_{1}' = -\frac{t\cdot t^{-1}}{t^{2}\cdot(-2/t)} = -\frac{1}{t^{2}\cdot(-2/t)} = -\frac{1}{-2t}=\frac{1}{2t}.
Calcule v_{2}':
v_{2}' = \frac{t\cdot t}{t^{2}\cdot(-2/t)} = \frac{t^{2}}{t^{2}\cdot(-2/t)} = \frac{1}{-2/t} = -\frac{t}{2}.

Passo 8

Integrar v_{1}' e v_{2}' para obter v_{1} e v_{2}.
Integrando:
v_{1}(t)=\int \frac{1}{2t}\,dt = \frac{1}{2}\ln|t| + C_3,
v_{2}(t)=\int -\frac{t}{2}\,dt = -\frac{t^{2}}{4} + C_4.
No método de variação de parâmetros podemos tomar as constantes de integração C_3,C_4 iguais a zero, pois quaisquer termos constantes multiplicados por y_{1} ou y_{2} voltarão a produzir partes da solução homogênea (que serão absorvidas pelos C_1,C_2 da solução geral). Assim escolhemos
v_{1}(t)=\frac{1}{2}\ln|t|,\qquad v_{2}(t)=-\frac{t^{2}}{4}.

Passo 9

Construir y_{p} e a solução geral.
Com y_{p}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2} temos
y_{p}(t)=\frac{1}{2}\ln|t|\cdot t \;+\; \left(-\frac{t^{2}}{4}\right)\cdot t^{-1} = \frac{1}{2}t\ln|t| - \frac{1}{4}t.
Note que o termo -\tfrac{1}{4}t é múltiplo da solução homogênea y_{1}=t, então ele pode ser incorporado em C_{1}t. Assim podemos escolher como solução particular a forma mais simples
y_{p}(t)=\frac{1}{2}t\ln|t|.
Portanto a solução geral da equação não-homogênea (\star) é
y(t)=C_{1}t + C_{2}t^{-1} + \frac{1}{2}t\ln|t|.

Resposta

(a) \;y_{1}(t)=t é solução de (\star\star).\n
(b) \;u(t)=t^{-2} (por exemplo), logo \;y_{2}(t)=t^{-1} é segunda solução independente de (\star\star).\n
(c) \;y(t)=C_{1}t + C_{2}t^{-1} + \tfrac{1}{2}t\ln|t|

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