(b) Determine uma função u=u(t), duas vezes diferenciável, tal que y_{2}(t)=t u(t) também seja uma solução particular de ( * \star ).
(c) O Método de Variação de Parâmetros resolve qualquer tipo de equação diferencial linear não-homogênea, mesmo que os coeficientes não sejam constantes. Se conhecermos as soluções particulares da equação homogênea associada, basta determinar a solução particular y_{p} de maneira análoga ao que é feito quando os coeficientes da equação são constantes. Sabendo disto, use o método de variação de parâmetros para determinar a solução de ( \star ).
Passo 1
O enunciado pede três coisas distintas:
Verificar que y_{1}(t)=t é solução da equação homogênea
(\star\star)\quad t^{2}y''+ty'-y=0.
Determinar uma função u=u(t), duas vezes diferenciável, tal que y_{2}(t)=t\,u(t) também seja solução da equação homogênea (\star\star).
Usar o método de variação de parâmetros para resolver a equação não-homogênea
(\star)\quad t^{2}y''+ty'-y=t,
ou seja, encontrar a solução geral de (\star).
As informações relevantes são a própria equação (\star) e a proposta de y_{1}(t)=t. Não há figura ou dados externos.
Passo 2
Verificação direta de que y_{1}(t)=t satisfaz (\star\star).
Calcule as derivadas:
y_{1}'(t)=1,\qquad y_{1}''(t)=0.
Substituindo em (\star\star),
t^{2}\cdot 0 + t\cdot 1 - t = t - t = 0.
Portanto \,y_{1}(t)=t é de fato solução de (\star\star).
Passo 3
Encontrar a segunda solução da homogênea por redução de ordem: procuramos y(t)=t\,u(t) com u duas vezes diferenciável.
Vamos calcular derivadas de y=t u(t). Usando regra do produto,
u(t)=\int w(t)\,dt = \int C t^{-3}\,dt = C\left(-\tfrac{1}{2}t^{-2}\right) + C_2.
Logo a forma geral é
u(t)=C_2 - \tfrac{C}{2} t^{-2},
com C,C_2 constantes arbitrárias.
Passo 5
Escolhendo constantes para obter uma segunda solução independente de y_{1}: se tomarmos, por exemplo, C_2=0 e -\tfrac{C}{2}=1 (ou seja C=-2), então
u(t)=t^{-2}.
Então
y_{2}(t)=t\,u(t)=t\cdot t^{-2}=t^{-1}.
Portanto y_{2}(t)=t^{-1} é uma segunda solução independente da homogênea. (A forma geral de u com constantes simplesmente gera combinações lineares que incluem múltiplos de y_{1}; para uma segunda solução independente podemos escolher u=t^{-2}.)
Passo 6
Preparar a variação de parâmetros para a equação não-homogênea (\star).
Primeiro colocamos a EDO em forma padrão dividindo por t^{2} (novamente t\neq 0):
As fórmulas de variação de parâmetros (para a equação na forma a_{2}(t)y''+a_{1}(t)y'+a_{0}(t)y=f(t)) podem ser escritas, no nosso caso com a_{2}(t)=t^{2} e f(t)=t, como
No método de variação de parâmetros podemos tomar as constantes de integração C_3,C_4 iguais a zero, pois quaisquer termos constantes multiplicados por y_{1} ou y_{2} voltarão a produzir partes da solução homogênea (que serão absorvidas pelos C_1,C_2 da solução geral). Assim escolhemos
y_{p}(t)=\frac{1}{2}\ln|t|\cdot t \;+\; \left(-\frac{t^{2}}{4}\right)\cdot t^{-1} = \frac{1}{2}t\ln|t| - \frac{1}{4}t.
Note que o termo -\tfrac{1}{4}t é múltiplo da solução homogênea y_{1}=t, então ele pode ser incorporado em C_{1}t. Assim podemos escolher como solução particular a forma mais simples
y_{p}(t)=\frac{1}{2}t\ln|t|.
Portanto a solução geral da equação não-homogênea (\star) é
y(t)=C_{1}t + C_{2}t^{-1} + \frac{1}{2}t\ln|t|.
Resposta
(a) \;y_{1}(t)=t é solução de (\star\star).\n
(b) \;u(t)=t^{-2} (por exemplo), logo \;y_{2}(t)=t^{-1} é segunda solução independente de (\star\star).\n
(c) \;y(t)=C_{1}t + C_{2}t^{-1} + \tfrac{1}{2}t\ln|t|