Questão 28.
Determinar a solução da seguinte equação diferencial
Determinar a solução da seguinte equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para determinar a solução geral da equação diferencial de ordem quatro
Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação diferencial linear, de coeficientes constantes, não-homogênea.
- O lado direito é um polinômio de grau 4:
. - Precisamos encontrar a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada (isto é, com o lado direito igual a zero):
Explico: para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo essa forma na homogênea transforma a equação diferencial em um polinômio em
— o chamado polinômio característico.
Passo 3
Montamos o polinômio característico. Substituindo
obtemos
Como
, o polinômio característico é
Passo 4
Fatoramos o polinômio característico:
Portanto uma raiz é
. As outras raízes vêm de
. As raízes cúbicas de
são
Explicação rápida:
tem uma raiz real
e duas complexas conjugadas. Então temos quatro raízes distintas:
.
Passo 5
A partir das raízes do polinômio característico, escrevemos a solução geral da homogênea. Para a raiz real
temos uma solução constante
. Para
temos
. Para o par complexo
com
e
, as soluções reais correspondentes são
e
. Assim a solução geral homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não-homogênea
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Regra prática: como o lado direito é um polinômio de grau 4, tentaríamos inicialmente um polinômio de grau 4
Mas há uma ressalva importante: se alguma parte desse polinômio coincide com soluções da homogênea, precisamos multiplicar por
, onde
é a multiplicidade da raiz zero (ou o menor inteiro necessário) para eliminar a ressonância. Aqui a homogênea contém a solução constante (devido à raiz
), então um termo constante no ansatz seria ressonante. A raiz
tem multiplicidade 1, portanto multiplicamos por
. Assim o ansatz adequado é um polinômio de grau 5 sem termo constante:
Explicação: multiplicamos por
para garantir que nenhum termo do ansatz seja solução da homogênea (evita sobreposição).
Passo 7
Calculemos as derivadas necessárias de
. Começando por
Derivando:
Passo 8
Substituímos
e
na equação
. Temos
Agrupando por potências de
:
Passo 9
Igualamos os coeficientes de cada potência de
com o polinômio do lado direito
. Obtemos o sistema
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo independente:
.
Agora resolvemos passo a passo:
Para
: substituímos
em
. Calculamos
. Assim
Para
: substituímos
em
. Calculamos
. Assim
Passo 10
Portanto a solução particular encontrada é
A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular: