Questão 28.
Determinar a solução da seguinte equação diferencial
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}+\frac{d y}{d x}=x^{4}-x^{3}+x^{2}-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução geral da equação diferencial de ordem quatro
\frac{d^{4}y}{dx^{4}}+\frac{dy}{dx}=x^{4}-x^{3}+x^{2}-2x+1.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial linear, de coeficientes constantes, não-homogênea.
  • O lado direito é um polinômio de grau 4: x^{4}-x^{3}+x^{2}-2x+1.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada (isto é, com o lado direito igual a zero):
\frac{d^{4}y}{dx^{4}}+\frac{dy}{dx}=0.
Explico: para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo essa forma na homogênea transforma a equação diferencial em um polinômio em r — o chamado polinômio característico.

Passo 3

Montamos o polinômio característico. Substituindo y=e^{rx} obtemos
r^{4}e^{rx}+r e^{rx}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{rx}(r^{4}+r)=0.
Como e^{rx}\neq0, o polinômio característico é
r^{4}+r=0.

Passo 4

Fatoramos o polinômio característico:
r^{4}+r = r(r^{3}+1)=0.
Portanto uma raiz é r=0. As outras raízes vêm de r^{3}=-1. As raízes cúbicas de -1 são
r=-1,\qquad r=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad r=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Explicação rápida: r^{3}=-1 tem uma raiz real -1 e duas complexas conjugadas. Então temos quatro raízes distintas: 0,\,-1,\\ \frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

A partir das raízes do polinômio característico, escrevemos a solução geral da homogênea. Para a raiz real r=0 temos uma solução constante e^{0x}=1. Para r=-1 temos e^{-x}. Para o par complexo r=\alpha\pm i\beta com \alpha=\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, as soluções reais correspondentes são e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x). Assim a solução geral homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}e^{-x}+e^{\frac{x}{2}}\bigl(C_{3}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)+C_{4}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\bigr),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação não-homogênea
\frac{d^{4}y}{dx^{4}}+\frac{dy}{dx}=x^{4}-x^{3}+x^{2}-2x+1.
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Regra prática: como o lado direito é um polinômio de grau 4, tentaríamos inicialmente um polinômio de grau 4
y_{p}^{(tentativa)}=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.
Mas há uma ressalva importante: se alguma parte desse polinômio coincide com soluções da homogênea, precisamos multiplicar por x^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz zero (ou o menor inteiro necessário) para eliminar a ressonância. Aqui a homogênea contém a solução constante (devido à raiz r=0), então um termo constante no ansatz seria ressonante. A raiz r=0 tem multiplicidade 1, portanto multiplicamos por x. Assim o ansatz adequado é um polinômio de grau 5 sem termo constante:
y_{p}(x)=Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}+Dx^{2}+Ex.
Explicação: multiplicamos por x para garantir que nenhum termo do ansatz seja solução da homogênea (evita sobreposição).

Passo 7

Calculemos as derivadas necessárias de y_{p}. Começando por
y_{p}(x)=Ax^{5}+Bx^{4}+Cx^{3}+Dx^{2}+Ex.
Derivando:
y_{p}'(x)=5Ax^{4}+4Bx^{3}+3Cx^{2}+2Dx+E,
y_{p}''(x)=20Ax^{3}+12Bx^{2}+6Cx+2D,
y_{p}'''(x)=60Ax^{2}+24Bx+6C,
y_{p}^{(4)}(x)=120Ax+24B.

Passo 8

Substituímos y_{p}' e y_{p}^{(4)} na equação y^{(4)}+y'= \text{RHS}. Temos
y_{p}^{(4)}(x)+y_{p}'(x) = (120Ax+24B) + (5Ax^{4}+4Bx^{3}+3Cx^{2}+2Dx+E).
Agrupando por potências de x:
y_{p}^{(4)}+y_{p}' = 5Ax^{4} + 4Bx^{3} + 3Cx^{2} + (120A+2D)x + (24B+E).

Passo 9

Igualamos os coeficientes de cada potência de x com o polinômio do lado direito x^{4}-x^{3}+x^{2}-2x+1. Obtemos o sistema
  • coeficiente de x^{4}: 5A=1,
  • coeficiente de x^{3}: 4B=-1,
  • coeficiente de x^{2}: 3C=1,
  • coeficiente de x^{1}: 120A+2D=-2,
  • termo independente: 24B+E=1.
Agora resolvemos passo a passo:
A=\frac{1}{5}.
B=-\frac{1}{4}.
C=\frac{1}{3}.
Para D: substituímos A em 120A+2D=-2. Calculamos 120A=120\cdot\frac{1}{5}=24. Assim
24+2D=-2 \quad\Rightarrow\quad 2D=-26 \quad\Rightarrow\quad D=-13.
Para E: substituímos B em 24B+E=1. Calculamos 24B=24\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)=-6. Assim
-6+E=1 \quad\Rightarrow\quad E=7.

Passo 10

Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}(x)=\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-13x^{2}+7x.
A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-x}+e^{\frac{x}{2}}\Bigl(C_{3}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)+C_{4}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr)+\frac{1}{5}x^{5}-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-13x^{2}+7x

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