Encontre a solução da equação da onda dada
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a solução
da equação
com as condições iniciais
Informações dadas (resumindo):
- A equação diferencial parcial é válida para todo
e . - As funções iniciais são
(deslocamento inicial) e (velocidade inicial). - A tarefa é obter uma fórmula explícita para
que satisfaça a PDE e as condições iniciais.
Passo 2
Ideia para começar: fazemos uma mudança de variáveis que simplifica a PDE. Definimos
Vamos reescrever
como função de
. Denotando
(com
como acima), usamos a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais. Primeiro as derivadas de primeira ordem:
Passo 3
Agora as derivadas de segunda ordem, usando novamente derivação:
Subtraindo as duas expressões (lado esquerdo menos direito da PDE) obtemos
Como a PDE exige que isso seja zero, temos
Passo 4
A equação
significa que a derivada mista é nula, logo
é soma de uma função de
com uma função de
. Assim a solução geral (localmente, para funções suficientemente suaves) é
ou voltando às variáveis originais,
onde
e
são funções a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais. Em
temos
, portanto
A derivada temporal geral é (já vista)
Em
isso dá
Assim obtemos o sistema de equações (para cada
):
Passo 6
Para encontrar
e
não precisamos determinar constantes separadas; podemos manipular o sistema para obter diretamente
. Primeiro resolvemos para
e
. Somando as derivadas de
com a equação de
temos:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Passo 7
Agora fazemos uma integração esperta que evita constantes indeterminadas: considere
e integre entre
e
:
A integral de
é simples, então
Agora escrevemos
e usemos que
(pela condição inicial em
). Assim
Simplificando os termos com
obtemos a fórmula clássica:
Passo 8
A solução final é
válida para
(e para
com regularidade suficiente, por exemplo
e
contínuas e
contínua quando necessário). Pequenas intuições rápidas: se
a solução é a média dos perfis
deslocados; se
a solução é dada pela integral da velocidade inicial sobre o intervalo
.