Encontre a solução da equação da onda dada
\begin{aligned} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} & =\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}},-\infty<x<\infty, t>0, \\ y(x, 0) & =f(x), \\ \frac{\partial y}{\partial t}(x, 0) & =g(x) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a solução y(x,t) da equação
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}},\quad -\infty<x<\infty,\; t>0,
com as condições iniciais
y(x,0)=f(x),
\frac{\partial y}{\partial t}(x,0)=g(x).
Informações dadas (resumindo):
  • A equação diferencial parcial é válida para todo x\in\mathbb{R} e t>0.
  • As funções iniciais são f(x) (deslocamento inicial) e g(x) (velocidade inicial).
  • A tarefa é obter uma fórmula explícita para y(x,t) que satisfaça a PDE e as condições iniciais.

Passo 2

Ideia para começar: fazemos uma mudança de variáveis que simplifica a PDE. Definimos
\xi = x-t,\qquad \eta = x+t.
Vamos reescrever y(x,t) como função de (\xi,\eta). Denotando Y(\xi,\eta)=y(x,t) (com \xi,\eta como acima), usamos a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais. Primeiro as derivadas de primeira ordem:
\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial Y}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = Y_{\xi}+Y_{\eta},
\frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial Y}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial Y}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} = -Y_{\xi}+Y_{\eta}.

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem, usando novamente derivação:
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = Y_{\xi\xi}+2Y_{\xi\eta}+Y_{\eta\eta},
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = Y_{\xi\xi}-2Y_{\xi\eta}+Y_{\eta\eta}.
Subtraindo as duas expressões (lado esquerdo menos direito da PDE) obtemos
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = -4\,Y_{\xi\eta}.
Como a PDE exige que isso seja zero, temos
Y_{\xi\eta}=0.

Passo 4

A equação Y_{\xi\eta}=0 significa que a derivada mista é nula, logo Y é soma de uma função de \xi com uma função de \eta. Assim a solução geral (localmente, para funções suficientemente suaves) é
Y(\xi,\eta)=F(\xi)+G(\eta),
ou voltando às variáveis originais,
y(x,t)=F(x-t)+G(x+t),
onde F e G são funções a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais. Em t=0 temos \xi=\eta=x, portanto
y(x,0)=F(x)+G(x)=f(x).
A derivada temporal geral é (já vista)
\frac{\partial y}{\partial t}(x,t) = -F'(x-t)+G'(x+t).
Em t=0 isso dá
-F'(x)+G'(x)=g(x).
Assim obtemos o sistema de equações (para cada x):
\begin{cases} F(x)+G(x)=f(x),\\[4pt] -\,F'(x)+G'(x)=g(x). \end{cases}]

Passo 6

Para encontrar F e G não precisamos determinar constantes separadas; podemos manipular o sistema para obter diretamente y(x,t). Primeiro resolvemos para F' e G'. Somando as derivadas de F+G=f com a equação de g temos:
F'(x)+G'(x)=f'(x),
-\,F'(x)+G'(x)=g(x).
Somando as duas equações:
2G'(x)=f'(x)+g(x)\quad\Rightarrow\quad G'(x)=\tfrac{1}{2}\big(f'(x)+g(x)\big).
Subtraindo as duas equações:
2F'(x)=f'(x)-g(x)\quad\Rightarrow\quad F'(x)=\tfrac{1}{2}\big(f'(x)-g(x)\big).

Passo 7

Agora fazemos uma integração esperta que evita constantes indeterminadas: considere G'(s) e integre entre s=x-t e s=x+t:
G(x+t)-G(x-t)=\int_{x-t}^{x+t} G'(s)\,ds = \tfrac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}\big(f'(s)+g(s)\big)\,ds.
A integral de f' é simples, então
G(x+t)-G(x-t)=\tfrac{1}{2}\big(f(x+t)-f(x-t)\big)+\tfrac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t} g(s)\,ds.
Agora escrevemos y(x,t)=F(x-t)+G(x+t) e usemos que F(x-t)+G(x-t)=f(x-t) (pela condição inicial em x-t). Assim
\begin{aligned} y(x,t) &= F(x-t)+G(x+t) \\\ &= \big(F(x-t)+G(x-t)\big) + \big(G(x+t)-G(x-t)\big) \\\ &= f(x-t) + \tfrac{1}{2}\big(f(x+t)-f(x-t)\big) + \tfrac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t} g(s)\,ds. \end{aligned}
Simplificando os termos com f obtemos a fórmula clássica:

Passo 8

A solução final é
y(x,t)=\tfrac{1}{2}\big(f(x+t)+f(x-t)\big) + \tfrac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t} g(s)\,ds,
válida para t\ge 0 (e para f,g com regularidade suficiente, por exemplo f e g contínuas e f' contínua quando necessário). Pequenas intuições rápidas: se g\equiv 0 a solução é a média dos perfis f deslocados; se f\equiv 0 a solução é dada pela integral da velocidade inicial sobre o intervalo [x-t,x+t].

Resposta

y(x,t)=\tfrac{1}{2}\big(f(x+t)+f(x-t)\big) + \tfrac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t} g(s)\,ds

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