Um cabo coaxial é formado por um cilindro condutor maciço infinito, de raio a e uma casca cilíndrica condutora, também infinita de raio interno b e raio externo c(a<b<c). O cilindro transporta uma corrente estacionária de intensidade i_{1}, uniformemente distribuída sobre a sua seção transversal, com o sentido indicado na figura, enquanto a casca transporta uma corrente de intensidade i_{2}, também uniformemente distribuída. Adote o eixo \mathcal{O} \mathcal{Z} coaxial ao eixo do cilindro.
(a) Escreva o vetor densidade de corrente \vec{j} desta configuração para um ponto localizado a uma distância s do eixo. Considere todas as regiões do espaço, isto é, (i) s<a, (ii) a<s<b, (iii) b<s<c e (iv) s>c.
(b) Escreva a expressão genérica para o campo magnético \vec{B} gerado pelo cabo em qualquer ponto do espaço em coordenadas cilíndricas (s, \varphi, z). Neste problema, é possível expressar este campo como função apenas de uma ou duas dessas coordenadas? Se sim, quais? Utilize argumentos de simetria para justificar sua resposta (veja o exercício 6 ).
(c) Alguma(s) das componentes do campo magnético B_{s}, B_{\varphi} ou B_{z} gerado por este cabo será nula em todo espaço? Se sim, qual(is)? Por quê?
(d) Utilize sua resposta nos itens (a)-\text{(c)} e a lei de Ampère, para encontrar o vetor campo magnético produzido pelo cabo em um ponto qualquer do espaço. Considere todas as regiões do espaço possíveis. Indique, para cada uma delas, a curva amperiana escolhida.
(e) A partir da sua resposta ao item (d), determine: qual a relação entre i_{1} e i_{2} para que o campo magnético fora do cabo (s>c) seja nulo?
(f) Considerando a sua resposta nos itens (d) e (e), esboce o gráfico de |\vec{B}| como função da distância ao eixo s. Indique todos os pontos relevantes.
Passo 1
O enunciado descreve um cabo coaxial infinito com três regiões radiais: um cilindro maciço condutor de raio a (corrente total \,i_{1}\, uniformemente distribuída na sua seção), um espaço radial vazio entre a e b, e uma casca cilíndrica condutora de raio interno b e externo c (corrente total \,i_{2}\, uniformemente distribuída na espessura da casca). Está indicado no enunciado que a<b<c. O eixo \mathcal{O}\mathcal{Z} é o eixo do cilindro (coaxial). A figura mostra as setas das correntes: a corrente da casca \,i_{2}\, aponta no sentido que escolhemos como positivo do eixo \hat z (ou seja, definimos \hat z na direção da seta de i_{2}); a corrente do cilindro interior i_{1} está no sentido oposto (conforme a figura).\n\nO que o problema pede (lista clara de perguntas):\n- (a) Escrever o vetor densidade de corrente \vec j em cada região: (i) s<a, (ii) a<s<b, (iii) b<s<c, (iv) s>c.\n- (b) Escrever expressão genérica do campo magnético \vec B em coordenadas cilíndricas (s,\varphi,z) e dizer de quais coordenadas ele depende, justificando por simetria.\n- (c) Dizer quais componentes B_{s},B_{\varphi},B_{z} são nulas em todo o espaço e justificar.\n- (d) Usar Ampère para encontrar \vec B em cada região (escolher a curva amperiana para cada caso e explicá-la).\n- (e) Determinar relação entre i_{1} e i_{2} para que \vec B fora do cabo (s>c) seja nulo.\n- (f) Esboçar (descrever) o gráfico de |\vec B| versus s, indicando pontos relevantes.\n\nInformações relevantes dadas: correntes uniformemente distribuídas nas respectivas áreas transversais; raios a<b<c; sentido das correntes conforme figura (tomamos \hat z no sentido de i_{2}). A resolução começa agora.
Passo 2
Definições e fórmulas úteis (mini-aula):\n\n- Coordenadas cilíndricas: qualquer ponto é (s,\varphi,z), com \hat s radial, \hat\varphi tangencial (ângulo crescente), \hat z axial. Aqui o eixo \hat z foi definido na direção da seta de i_{2}.\n\n- Densidade de corrente \vec j (corrente por unidade de área): se uma corrente total I está uniformemente distribuída numa seção circular de raio R, então a densidade superficial (por unidade de área da seção transversal) é constante e dada por\n\vec j = \frac{I}{\text{área}}\,\hat z = \frac{I}{\pi R^{2}}\,\hat z\nAqui \vec j tem direção axial (\hat z) porque as correntes são axiais.\n\n- Para uma casca de espessura entre b e c com corrente total I uniformemente distribuída na área anelar \pi(c^{2}-b^{2}), a densidade é\n\vec j = \frac{I}{\pi(c^{2}-b^{2})}\,\hat z\n\n- Lei de Ampère (estática, no vácuo): em torno de uma curva fechada C,\n\oint_{C}\vec B\cdot d\vec \ell = \mu_{0} I_{\text{enc}}\nonde I_{\text{enc}} é a corrente algébrica atravessando a superfície limitada por C. Para simetria cilíndrica escolhemos curvas C círculos de raio s centrados no eixo.\n\n- Relação campo-corrente para curva circular de raio s quando \vec B é azimutal e depende só de s: \vec B = B_{\varphi}(s)\,\hat\varphi e então\nB_{\varphi}(s)\,2\pi s = \mu_{0} I_{\text{enc}}(s).
Passo 3
Resposta ao item (a): vetor densidade de corrente \vec j em cada região (explicação pedagógica e cálculo passo a passo).\n\nPrimeiro fixamos orientações: escolhemos \hat z na direção da seta de i_{2} mostrada na figura. Assim i_{2} é positivo (paralelo a \hat z) e i_{1} aponta no sentido oposto (anti-paralelo a \hat z). Para expressar \vec j usamos sinais algébricos: corrente na direção de \hat z positiva, na direção oposta negativa.\n\n(i) Região s<a (dentro do cilindro maciço): a corrente total dentro do cilindro é i_{1}, mas como i_{1} aponta no sentido oposto a \hat z, a densidade vetorial é\n\vec j(s)= -\dfrac{i_{1}}{\pi a^{2}}\,\hat z,\qquad (s<a).\nExplicação: dividimos a corrente total pela área da seção \pi a^{2} e colocamos sinal negativo por causa do sentido.\n\n(ii) Região a<s<b (entre cilindro e casca): não há material condutor nem corrente nessa região, logo\n\vec j(s)=\vec 0,\qquad (a<s<b).\n\n(iii) Região b<s<c (dentro da espessura da casca): a corrente total da casca é i_{2} e está uniformemente distribuída na área anelar \pi(c^{2}-b^{2}), e aponta na direção positiva \hat z. Assim\n\vec j(s)= \dfrac{i_{2}}{\pi\bigl(c^{2}-b^{2}\bigr)}\,\hat z,\qquad (b<s<c).\n\n(iv) Região s>c (fora do cabo): não há corrente volumétrica no espaço exterior, logo\n\vec j(s)=\vec 0,\qquad (s>c).
Passo 4
Resposta ao item (b) — argumentos de simetria sobre dependência e forma do campo magnético.\n\nArgumentos de simetria (mini-aula):\n- O conjunto é infinito e homogêneo ao longo do eixo z (translação ao longo de z deixa o problema invariante), logo nada depende de z.\n- O sistema é também invariante por rotações em torno do eixo z (rotacionalmente simétrico), logo nada depende do ângulo \varphi.\n- Por essas simetrias, qualquer vetor campo que se forme não pode ter variação com z nem com \varphi; só pode depender da coordenada radial s.\n- Além disso, correntes axiais geram campo magnético circular ao redor do eixo (regra da mão direita): isso mostra que o campo deve ser puramente azimutal. Formalmente, se houvesse componente radial B_{s} ou axial B_{z} isso quebraria a simetria rotacional ou translacional.\n\nPortanto o campo pode ser escrito genericamente como\n\vec B(s)= B_{\varphi}(s)\,\hat\varphi,\nisto é, depende apenas de s e aponta na direção \hat\varphi.
Passo 5
Resposta ao item (c) — quais componentes são nulas e por quê (explicação didática).\n\n- B_{s}(s)=0 para todo s: se existisse componente radial preferencial, a rotação em \varphi mudaria sua direção, quebrando a simetria rotacional. Além disso, por simetria, o campo radial deveria apontar igualmente para dentro e para fora em todos os \varphi, o que não é compatível com um campo estável aqui.\n\n- B_{z}(s)=0 para todo s: correntes puramente axiais, simetricamente distribuídas, não geram componente axial média do campo magnético (uma componente axial exigiria um “enrolamento” assimétrico de corrente). Também pode-se justificar com a lei de Ampère escolhendo uma curva circular: se houvesse B_{z} não afetaria a integral sobre essa curva e contradiria a forma esperada do campo por simetria.\n\nConclusão: a única componente não nula é B_{\varphi}; portanto B_{s}=0 e B_{z}=0 em todo o espaço.
Passo 6
Resposta ao item (d) — aplicar Ampère para obter \vec B em cada região. Escolha da curva amperiana: para qualquer raio s escolhemos a circunferência circular de raio s, centrada no eixo, no plano transversal (curva C). Assim d\vec \ell = s\,d\varphi\,\hat\varphi e \oint_{C}\vec B\cdot d\vec\ell = B_{\varphi}(s)\,2\pi s.\n\nPrecisamos calcular I_{\text{enc}}(s), a corrente algébrica atravessando a superfície circular de raio s: somamos contribuições do cilindro (com sinal negativo) e da porção da casca contida dentro de s (se s> b). Lembrar: adotamos i_{2} positivo em \hat z e i_{1} negativo (pois aponta oposto). Procedemos região por região.\n\nRegião 1: s<a.\n- Corrente do cilindro dentro do raio s é a fração da área: \,i_{1,\text{enc}} = i_{1}\dfrac{\pi s^{2}}{\pi a^{2}} = i_{1}\dfrac{s^{2}}{a^{2}}\,. Lembrando o sinal (i1 aponta em -\hat z), a contribuição algébrica é -\,i_{1}\dfrac{s^{2}}{a^{2}}.\n- Não há corrente da casca incluída (pois s<a<b).\nPortanto\nI_{\text{enc}}(s)= -\,i_{1}\dfrac{s^{2}}{a^{2}}.\nAplicando Ampère:
\vec B(s)= -\,\dfrac{\mu_{0} i_{1}}{2\pi}\,\dfrac{s}{a^{2}}\,\hat\varphi,\qquad (s<a).\n(Aqui o sinal negativo indica que o sentido de \vec B é oposto ao de \hat\varphi conforme a regra da mão direita para uma corrente no sentido de -\hat z.)\n\nRegião 2: a<s<b.\n- Toda a corrente do cilindro está incluída: contribuição algébrica -\,i_{1}.\n- Nenhuma corrente da casca ainda.\nPortanto I_{\text{enc}}(s)= -\,i_{1}. Ampère dá\nB_{\varphi}(s)\,2\pi s=\mu_{0}(-\,i_{1})
\vec B(s)= -\,\dfrac{\mu_{0} i_{1}}{2\pi s}\,\hat\varphi,\qquad (a<s<b).\nObservação didática: aqui o módulo decai como 1/s porque a mesma corrente está concentrada ao centro (efeito de fio longo) e a integral de Ampère envolve 2\pi s.\n\nRegião 3: b<s<c (dentro da espessura da casca).\n- Contribuição total do cilindro: -\,i_{1}.\n- Contribuição da porção da casca interna até raio s: como a densidade de corrente da casca é uniforme na área anelar, a corrente da casca contida até s vale
i_{2,\text{enc}} = i_{2}\,\dfrac{\pi(s^{2}-b^{2})}{\pi(c^{2}-b^{2})}= i_{2}\,\dfrac{s^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}.\nLogo a corrente algébrica total encoberta é
\vec B(s)= \dfrac{\mu_{0}}{2\pi s}\Bigl(-\,i_{1} + i_{2}\dfrac{s^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}\Bigr)\hat\varphi,\qquad (b<s<c).\nNota: esta expressão varia de forma não trivial com s dentro da casca porque à medida que s cresce mais corrente da casca fica incluída.\n\nRegião 4: s>c (fora do cabo).\n- Toda a corrente do cilindro e de toda a casca está incluída. A corrente algébrica total é\nI_{\text{enc}}(s)= -\,i_{1} + i_{2}.\nPela Ampère:
\vec B(s)= \dfrac{\mu_{0}}{2\pi s}\bigl(-\,i_{1}+i_{2}\bigr)\hat\varphi,\qquad (s>c).\n\nEm todos os casos a curva amperiana escolhida foi a circunferência de raio s centrada no eixo; isto é indicado por cada intervalo acima.
Passo 7
Verificação de continuidade e comentários extras (didática rápida):\n\n- As expressões para B_{\varphi}(s) são contínuas em s=a, s=b e s=c. Pode-se verificar substituindo s=a,b,c nas fórmulas de cada lado; como as correntes são volumétricas e não há correntes de superfície singular, o campo tangencial \vec B é contínuo.\n\n- Comportamentos limites:\n - próximo ao eixo (s\to 0) temos B_{\varphi}\propto s (o campo parte de zero e cresce linearmente dentro do cilindro maciço);\n - para a<s<b decaimento como 1/s;\n - dentro da casca variação dada pela fórmula (pode aumentar ou diminuir dependendo dos sinais e magnitudes de i_{1},i_{2});\n - para s\to\infty, B_{\varphi}(s)\sim \dfrac{\mu_{0}(-i_{1}+i_{2})}{2\pi s}, i.e. decai como 1/s se -i_{1}+i_{2}\neq 0.\n\nIsto já prepara o item (e) e (f).
Passo 8
Resposta ao item (e): condição para que \vec B fora do cabo (s>c) seja nulo.\n\nDa expressão para s>c:
\vec B(s)= \dfrac{\mu_{0}}{2\pi s}\bigl(-\,i_{1}+i_{2}\bigr)\hat\varphi.\nPara que isto seja nullo para todo s>c precisamos que o fator entre parênteses seja zero, isto é
-\,i_{1}+i_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad i_{2}=i_{1}.\nInterpretação: as correntes devem ter mesmos módulos e sentidos opostos (lembrar que adotamos i_{2} positivo em \hat z e i_{1} aponta em -\hat z na figura), ou dito de outro modo, a corrente total na casca deve ser igual em magnitude à corrente total do fio central e em sentido contrário — aí o campo fora do conjunto é zero (cancelamento completo).\n\nObservação física: é a razão pela qual linhas coaxiais com correntes opostas cancelam campo fora do cabo (princípio usado em cabos coaxiais comerciais).
Passo 9
Resposta ao item (f): esboço qualitativo (descrição) do gráfico de |\vec B| versus s, com todos os pontos relevantes e comportamento em cada região.\n\n- Para 0\le s\le a: |\vec B(s)| = \dfrac{\mu_{0}|i_{1}|}{2\pi}\dfrac{s}{a^{2}}. Isto é uma reta passando por (0,0) com inclinação \dfrac{\mu_{0}|i_{1}|}{2\pi a^{2}}. O módulo cresce linearmente até s=a.\n\n- Em s=a o valor é |\vec B(a)| = \dfrac{\mu_{0}|i_{1}|}{2\pi a}.\n\n- Para a<s<b: |\vec B(s)| = \dfrac{\mu_{0}|i_{1}|}{2\pi s}. Isto é uma curva decrescente proporcional a 1/s, partindo do valor anterior em s=a e decrescendo até s=b.\n\n- Em s=b o valor é |\vec B(b)| = \dfrac{\mu_{0}|i_{1}|}{2\pi b}.\n\n- Para b<s<c: |\vec B(s)| é dado por\n|\vec B(s)| = \dfrac{\mu_{0}}{2\pi s}\Bigl| -\,i_{1} + i_{2}\dfrac{s^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}\Bigr|.\nEste perfil é suave e conecta o valor em s=b ao valor em s=c. Dependendo dos valores numéricos de i_{1} e i_{2} pode haver monotonia decrescente, crescente ou um máximo interno — em particular, se i_{2}=i_{1} o módulo dentro da casca decresce até zero em s=c.\n\n- Em s=c o valor é |\vec B\text{(c)}|=\dfrac{\mu_{0}}{2\pi c}\bigl| -i_{1}+i_{2}\bigr|.\n\n- Para s>c: |\vec B(s)| = \dfrac{\mu_{0}}{2\pi s}\bigl| -i_{1}+i_{2}\bigr|, ou seja, decaimento em 1/s até zero no infinito. No caso especial i_{2}=i_{1} este rótulo é zero para todo s>c.\n\nPontos relevantes para marcar no gráfico: s=0 (|\vec B|=0), s=a (transição linear \to1/s), s=b (início da casca), s=c (fim da casca), e o comportamento assintótico \propto 1/s para s\to\infty com amplitude proporcional a |-i_{1}+i_{2}|. Indique também que |\vec B| é contínuo em s=a,b,c.
Resposta
(a) \vec j(s)= -\dfrac{i_{1}}{\pi a^{2}}\,\hat z,\quad (s<a);\quad \vec j(s)=\vec 0,\quad (a<s<b);\quad \vec j(s)=\dfrac{i_{2}}{\pi(c^{2}-b^{2})}\,\hat z,\quad (b<s<c);\quad \vec j(s)=\vec 0,\quad (s>c).\n\n(b) \vec B(s)=B_{\varphi}(s)\,\hat\varphi com dependência apenas radial: B_{\varphi}=B_{\varphi}(s) (não depende de \varphi nem de z).\n\n(c) B_{s}=0 e B_{z}=0 em todo o espaço; somente B_{\varphi} pode ser não nula, por simetria cilíndrica e pela direção axial das correntes.\n\n(d) Para a curva amperiana círculo de raio s centrado no eixo, as expressões são:\n\vec B(s)= -\,\dfrac{\mu_{0} i_{1}}{2\pi}\dfrac{s}{a^{2}}\,\hat\varphi,\quad (s<a);\n\vec B(s)= -\,\dfrac{\mu_{0} i_{1}}{2\pi s}\,\hat\varphi,\quad (a<s<b);\n\vec B(s)= \dfrac{\mu_{0}}{2\pi s}\Bigl(-\,i_{1} + i_{2}\dfrac{s^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}\Bigr)\hat\varphi,\quad (b<s<c);\n\vec B(s)= \dfrac{\mu_{0}}{2\pi s}\bigl(-\,i_{1}+i_{2}\bigr)\hat\varphi,\quad (s>c).\n(Em cada caso a curva amperiana escolhida é a circunferência de raio s centrada no eixo.)\n\n(e) Para \vec B nulo em s>c é necessário e suficiente -i_{1}+i_{2}=0, ou seja \;i_{2}=i_{1}.\n\n(f) Gráfico qualitativo de |\vec B| versus s: cresce linearmente de 0 até s=a com |\vec B|=\dfrac{\mu_{0}|i_{1}|}{2\pi}\dfrac{s}{a^{2}}; para a<s<b decai como 1/s com |\vec B|=\dfrac{\mu_{0}|i_{1}|}{2\pi s}; para b<s<c varia segundo |\vec B|=\dfrac{\mu_{0}}{2\pi s}\Bigl| -\,i_{1} + i_{2}\dfrac{s^{2}-b^{2}}{c^{2}-b^{2}}\Bigr| (perfil suave conectando s=b a s=c); para s>c decai como 1/s com |\vec B|=\dfrac{\mu_{0}}{2\pi s}\bigl| -i_{1}+i_{2}\bigr|. Pontos a marcar: s=0 (|\vec B|=0), s=a, s=b, s=c e o decaimento assintótico 1/s; no caso i_{2}=i_{1} teremos |\vec B|=0 para todo s>c.