1. Qual a temperatura u(x, t) de uma barra semi-infinita de seção transversal desprezível, isolada termicamente nas laterais, definida entre x=0 \mathrm{~m} e x=\infty, difusividade térmica c=1 \mathrm{~K} \mathrm{~cm}{ }^{2} / \mathrm{s}, se a extremidade esquerda (x=0) é isolada termicamente?
    Considere sua temperatura inicial u(x, 0)=f(x)=e^{-k x}, \quad k>0.
    O problema pode ser enunciado matematicamente como:
\begin{gathered} \frac{\partial u}{\partial t}=c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\\ \frac{\partial u(0, t)}{\partial x}=0 \\\ u(x, 0)=f(x) \end{gathered}
Resolva o problema de valor de contorno acima pelo método de Fourier.
Considere o problema definido sobre a barra infinita (-\infty<x<\infty)
(a) Tome a primeira (EDP) e a terceira (condição inicial) equações e opere uma transformada de Fourier na variável espacial x.
(b) O resultado será um problema de valor inicial (PVI) em t. Integre a equação diferencial resultante e aplique a condição inicial.
(c) Aplique a transformada inversa e mostre que o resultado é a convolução:
u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi \mu t}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 \mu t}} d y
Agora queremos estabelecer uma expansão adequada da função f(x), definida no intervalo semi-infinito 0 \leq x<\infty para uma função g(x), definida no intervalo -\infty<x<\infty, de maneira que g(x)=f(x) para todo e qualquer x \geq 0.
Retomando a solução obtida para u(x, t) no item (c) para o domínio infinito, derivamos a u(x, t) obtida no item (c) com respeito a x e obtemos:
\partial_{x} u(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(y) \partial_{x}\left(e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 \mu t}}\right) d y
(d) Mostre que a expressão resultante para \left.\partial_{x}\left(e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 \mu t}}\right)\right|_{x=0} é uma função ímpar na variável y.
(e) Para impormos a condição de contorno de isolamento térmico para a extremidade x=0, \partial_{x} u(0, t)=0, é possível utilizar a solução (item (c)) para o domínio infinito, definindo uma extensão de f(y), a g(y), com a paridade adequada. Argumente qual deve ser a paridade de g(y) (par ou ímpar com respeito a y=0 ) para que
\partial_{x} u(0, t)=\left.\int_{-\infty}^{\infty} f(y) \partial_{x}\left(e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 \mu t}}\right)\right|_{x=0} d y=0
(f) Obtenha a solução para u(x, t), a partir da solução do item (c)
u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi \mu t}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 \mu t}} d y
sendo g(y) a expansão de f(y) com a paridade adequada, substituindo para g(y)=f(y)=e^{-k x} para realizar a integral.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura u(x,t) numa barra semi-infinita 0\le x<\infty com equação do calor, extremidade esquerda isolada (condição de Neumann) e condição inicial u(x,0)=f(x)=e^{-k x} com k>0. As informações relevantes são:
\frac{\partial u}{\partial t}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},
\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=0}=0,
u(x,0)=f(x)=e^{-k x}\quad (x\ge0),
difusividade térmica c fornecida (no enunciado c=1), e o método pedido é o método de Fourier, aplicado primeiro ao problema no domínio inteiro -\infty<x<\infty.
Também será preciso escolher uma extensão g(x) de f(x) para todo \mathbb{R} com a paridade adequada para impor a condição de contorno em x=0. A resolução seguirá os itens (a)–(f) do enunciado.

Passo 2

(a) Aplicar a transformada de Fourier em x à EDP e à condição inicial. Primeiro definimos a transformada espacial (convenção usada):
\hat{u}(\omega,t)=\mathcal{F}_x\{u(\cdot,t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-i\omega x}\,dx.
Explicando a fórmula da transformada da derivada: se u(x,t) é suficientemente suave e decai, então
\mathcal{F}_x\{\partial_{x}^2 u\}(\omega,t) = \int_{-\infty}^{\infty}\partial_{x}^2 u(x,t)e^{-i\omega x}\,dx = -(i\omega)^2 \hat{u}(\omega,t) = -\omega^2 \hat{u}(\omega,t).
Aplicando a transformada à EDP \partial_t u = c^2 \partial_x^2 u obtemos, trocando integrais e derivadas,
\partial_t \hat{u}(\omega,t) = c^2 \cdot \big(-\omega^2\big)\,\hat{u}(\omega,t).
Chamando \mu=c^2 (para coincidir com a notação do enunciado), a equação transformada é
\partial_t \hat{u}(\omega,t) = -\mu \omega^2 \hat{u}(\omega,t).
A condição inicial transforma-se em
\hat{u}(\omega,0)=\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}\,dx.
(Observação: aqui consideramos o problema no domínio inteiro, por isso a integral em \hat{f} é sobre \mathbb{R}; mais adiante construiremos g para representar a extensão de f.)

Passo 3

(b) Resolver o problema de valor inicial em t que apareceu após a transformada. Temos uma ODE simples em t para cada \omega:
\partial_t \hat{u}(\omega,t) = -\mu \omega^2 \hat{u}(\omega,t),\qquad \hat{u}(\omega,0)=\hat{f}(\omega).
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução dada por separação de variáveis ou por fórmula padrão:
\hat{u}(\omega,t)=\hat{f}(\omega)e^{-\mu \omega^2 t}.
Essa expressão é a transformada de u(x,t). A seguir aplicamos a transformada inversa.

Passo 4

(c) Aplicar a transformada de Fourier inversa e mostrar a forma de convolução (o núcleo gaussiano). A transformada inversa (com nossa convenção) é
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{u}(\omega,t)e^{i\omega x}\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{-\mu\omega^2 t}e^{i\omega x}\,d\omega.
Escrevendo \hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-i\omega y}\,dy e trocando integrais (Fubini), obtemos
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\mu\omega^2 t}e^{i\omega(x-y)}\,d\omega\right)dy.
A integral interna é a transformada inversa de uma gaussiana em \omega. Usamos a fórmula padrão (com a=\mu t>0 e b=x-y):
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\omega^2+i b\omega}\,d\omega=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{-b^2/(4a)}.
Aplicando com a=\mu t e b=x-y obtemos
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\mu\omega^2 t}e^{i\omega(x-y)}\,d\omega=\sqrt{\frac{\pi}{\mu t}}\,e^{-\frac{(x-y)^2}{4\mu t}}.
Substituindo em u e simplificando os fatores numéricos:
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\sqrt{\frac{\pi}{\mu t}}\,e^{-\frac{(x-y)^2}{4\mu t}}\,dy =\frac{1}{\sqrt{4\pi\mu t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4\mu t}}\,dy.
Assim mostramos a forma de convolução pedida:
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi\mu t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4\mu t}}\,dy.
Comentário didático rápido: esse é o núcleo fundamental (heat kernel). Ele diz que a solução é a média gaussiana da condição inicial.

Passo 5

(d) Derivamos u(x,t) em x e avaliamos em x=0. Diferenciando por x a expressão de convolução (podemos trocar derivada e integral porque a gaussiana é suave):
\partial_x u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi\mu t}}\int_{-\infty}^{\infty} f(y)\,\partial_x\!\left(e^{-\frac{(x-y)^2}{4\mu t}}\right)dy.
Calcule a derivada dentro do integrando: para a função H(x)=e^{-(x-y)^2/(4\mu t)},
\partial_x H(x) = -\frac{x-y}{2\mu t}\,e^{-\frac{(x-y)^2}{4\mu t}}.
Avaliada em x=0 obtemos
\left.\partial_x\!\left(e^{-\frac{(x-y)^2}{4\mu t}}\right)\right|_{x=0} = -\frac{-y}{2\mu t}\,e^{-\frac{y^2}{4\mu t}} = \frac{y}{2\mu t}\,e^{-\frac{y^2}{4\mu t}}.
Essa função de y, h(y)=\dfrac{y}{2\mu t}e^{-y^2/(4\mu t)}, é ímpar em y porque h(-y)=-h(y) (a presença do fator y garante a paridade ímpar enquanto o resto é par). Portanto mostramos que \left.\partial_x\left(e^{-(x-y)^2/(4\mu t)}\right)\right|_{x=0} é uma função ímpar de y.

Passo 6

(e) Usando o resultado anterior, queremos impor a condição de contorno \partial_x u(0,t)=0. Escrevendo
\partial_x u(0,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi\mu t}}\int_{-\infty}^{\infty} g(y)\left.\partial_x\!\left(e^{-\frac{(x-y)^2}{4\mu t}}\right)\right|_{x=0}dy,
onde g(y) é a extensão de f a \mathbb{R}. Como o fator dentro da integral em relação a y é ímpar, a integral sobre \mathbb{R} será zero sempre que g(y) for uma função par (produto de uma função par por uma ímpar é ímpar, e a integral simétrica de uma função ímpar é zero). Logo, para que \partial_x u(0,t)=0 para todo t basta tomar a extensão g de f como uma função par em y:
g(-y)=g(y)\qquad\text{(paridade par).}
Portanto a paridade adequada é: extensão par (even extension). Concretamente, para f(x)=e^{-k x} em x\ge0, escolhemos
g(y)=e^{-k|y|}\quad\text{para }y\in\mathbb{R}.

Passo 7

(f) Obter a solução final substituindo g(y)=e^{-k|y|} na expressão de convolução e avaliando a integral. Começamos escrevendo a integral sobre \mathbb{R} como soma sobre [0,\infty) usando a paridade:
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi\mu t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-k|y|} e^{-\frac{(x-y)^2}{4\mu t}}\,dy =\frac{1}{\sqrt{4\pi\mu t}}\int_{0}^{\infty} e^{-k y}\Big(e^{-\frac{(x-y)^2}{4\mu t}}+e^{-\frac{(x+y)^2}{4\mu t}}\Big)dy.
Agora avaliamos as duas integrais (vamos chamá-las I e J):
I=\int_{0}^{\infty} e^{-k y}e^{-\frac{(x-y)^2}{4\mu t}}\,dy,\qquad J=\int_{0}^{\infty} e^{-k y}e^{-\frac{(x+y)^2}{4\mu t}}\,dy.
Para I completamos quadrado na exponencial. Escrevendo os expoentes juntos:
-k y-\frac{(x-y)^2}{4\mu t} = -\frac{1}{4\mu t}\Big(y^2 -2(x-2k\mu t)y\Big) - kx + k^2\mu t
o que é equivalente (após completar quadrado) a
-k y-\frac{(x-y)^2}{4\mu t} = -\frac{(y-(x-2k\mu t))^2}{4\mu t} -kx + k^2\mu t.
Então
I = e^{-kx+k^2\mu t}\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{(y-(x-2k\mu t))^2}{4\mu t}}\,dy.
Fazendo a mudança de variável
z=\frac{y-(x-2k\mu t)}{2\sqrt{\mu t}},\qquad dy=2\sqrt{\mu t}\,dz,
os limites y=0 a y=\infty tornam-se z=\dfrac{2k\mu t - x}{2\sqrt{\mu t}} até z=\infty. Usando a definição da função complementar do erro (erfc),
\int_{a}^{\infty} e^{-z^2}\,dz = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erfc}(a),
obtemos
I = e^{-kx+k^2\mu t}\,\sqrt{\pi\mu t}\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k\mu t - x}{2\sqrt{\mu t}}\right).
Como J é obtido trocando x por -x na integral I (simetria), temos
J = e^{kx+k^2\mu t}\,\sqrt{\pi\mu t}\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k\mu t + x}{2\sqrt{\mu t}}\right).
Somando I+J e multiplicando pelo fator \dfrac{1}{\sqrt{4\pi\mu t}} obtemos a solução completa:
u(x,t)=\frac{1}{2}e^{k^2\mu t}\Big[ e^{-k x}\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k\mu t - x}{2\sqrt{\mu t}}\right) + e^{k x}\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k\mu t + x}{2\sqrt{\mu t}}\right) \Big].
Lembre que \mu=c^2. No enunciado foi dado c=1, logo \mu=1. Substituindo \mu=1 obtemos a forma final simplificada:
u(x,t)=\frac{1}{2}e^{k^2 t}\Big[ e^{-k x}\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k t - x}{2\sqrt{t}}\right) + e^{k x}\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k t + x}{2\sqrt{t}}\right) \Big].

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{2}e^{k^{2}\mu t}\Bigg[e^{-k x}\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2k\mu t - x}{2\sqrt{\mu t}}\Big) +e^{k x}\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2k\mu t + x}{2\sqrt{\mu t}}\Big)\Bigg],
com \mu=c^{2}. Para c=1 (ou seja \mu=1):
u(x,t)=\frac{1}{2}e^{k^{2}t}\Big[e^{-k x}\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2k t - x}{2\sqrt{t}}\Big) +e^{k x}\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2k t + x}{2\sqrt{t}}\Big)\Big].

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