Qual a temperatura u(x, t) de uma barra semi-infinita de seção transversal desprezível, isolada termicamente nas laterais, definida entre x=0 \mathrm{~m} e x=\infty, difusividade térmica c=1 \mathrm{~K} \mathrm{~cm}{ }^{2} / \mathrm{s}, se a extremidade esquerda (x=0) é isolada termicamente?
Considere sua temperatura inicial u(x, 0)=f(x)=e^{-k x}, \quad k>0.
O problema pode ser enunciado matematicamente como:
Resolva o problema de valor de contorno acima pelo método de Fourier.
Considere o problema definido sobre a barra infinita (-\infty<x<\infty)
(a) Tome a primeira (EDP) e a terceira (condição inicial) equações e opere uma transformada de Fourier na variável espacial x.
(b) O resultado será um problema de valor inicial (PVI) em t. Integre a equação diferencial resultante e aplique a condição inicial.
(c) Aplique a transformada inversa e mostre que o resultado é a convolução:
u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi \mu t}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 \mu t}} d y
Agora queremos estabelecer uma expansão adequada da função f(x), definida no intervalo semi-infinito 0 \leq x<\infty para uma função g(x), definida no intervalo -\infty<x<\infty, de maneira que g(x)=f(x) para todo e qualquer x \geq 0.
Retomando a solução obtida para u(x, t) no item (c) para o domínio infinito, derivamos a u(x, t) obtida no item (c) com respeito a x e obtemos:
\partial_{x} u(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(y) \partial_{x}\left(e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 \mu t}}\right) d y
(d) Mostre que a expressão resultante para \left.\partial_{x}\left(e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 \mu t}}\right)\right|_{x=0} é uma função ímpar na variável y.
(e) Para impormos a condição de contorno de isolamento térmico para a extremidade x=0, \partial_{x} u(0, t)=0, é possível utilizar a solução (item (c)) para o domínio infinito, definindo uma extensão de f(y), a g(y), com a paridade adequada. Argumente qual deve ser a paridade de g(y) (par ou ímpar com respeito a y=0 ) para que
\partial_{x} u(0, t)=\left.\int_{-\infty}^{\infty} f(y) \partial_{x}\left(e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 \mu t}}\right)\right|_{x=0} d y=0
(f) Obtenha a solução para u(x, t), a partir da solução do item (c)
u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi \mu t}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 \mu t}} d y
sendo g(y) a expansão de f(y) com a paridade adequada, substituindo para g(y)=f(y)=e^{-k x} para realizar a integral.
Passo 1
O enunciado pede a temperatura u(x,t) numa barra semi-infinita 0\le x<\infty com equação do calor, extremidade esquerda isolada (condição de Neumann) e condição inicial u(x,0)=f(x)=e^{-k x} com k>0. As informações relevantes são:
difusividade térmica c fornecida (no enunciado c=1), e o método pedido é o método de Fourier, aplicado primeiro ao problema no domínio inteiro -\infty<x<\infty.
Também será preciso escolher uma extensão g(x) de f(x) para todo \mathbb{R} com a paridade adequada para impor a condição de contorno em x=0. A resolução seguirá os itens (a)–(f) do enunciado.
Passo 2
(a) Aplicar a transformada de Fourier em x à EDP e à condição inicial. Primeiro definimos a transformada espacial (convenção usada):
(Observação: aqui consideramos o problema no domínio inteiro, por isso a integral em \hat{f} é sobre \mathbb{R}; mais adiante construiremos g para representar a extensão de f.)
Passo 3
(b) Resolver o problema de valor inicial em t que apareceu após a transformada. Temos uma ODE simples em t para cada \omega:
Comentário didático rápido: esse é o núcleo fundamental (heat kernel). Ele diz que a solução é a média gaussiana da condição inicial.
Passo 5
(d) Derivamos u(x,t) em x e avaliamos em x=0. Diferenciando por x a expressão de convolução (podemos trocar derivada e integral porque a gaussiana é suave):
Essa função de y, h(y)=\dfrac{y}{2\mu t}e^{-y^2/(4\mu t)}, é ímpar em y porque h(-y)=-h(y) (a presença do fator y garante a paridade ímpar enquanto o resto é par). Portanto mostramos que \left.\partial_x\left(e^{-(x-y)^2/(4\mu t)}\right)\right|_{x=0} é uma função ímpar de y.
Passo 6
(e) Usando o resultado anterior, queremos impor a condição de contorno \partial_x u(0,t)=0. Escrevendo
onde g(y) é a extensão de f a \mathbb{R}. Como o fator dentro da integral em relação a y é ímpar, a integral sobre \mathbb{R} será zero sempre que g(y) for uma função par (produto de uma função par por uma ímpar é ímpar, e a integral simétrica de uma função ímpar é zero). Logo, para que \partial_x u(0,t)=0 para todo t basta tomar a extensão g de f como uma função par em y:
g(-y)=g(y)\qquad\text{(paridade par).}
Portanto a paridade adequada é: extensão par (even extension). Concretamente, para f(x)=e^{-k x} em x\ge0, escolhemos
g(y)=e^{-k|y|}\quad\text{para }y\in\mathbb{R}.
Passo 7
(f) Obter a solução final substituindo g(y)=e^{-k|y|} na expressão de convolução e avaliando a integral. Começamos escrevendo a integral sobre \mathbb{R} como soma sobre [0,\infty) usando a paridade:
I = e^{-kx+k^2\mu t}\,\sqrt{\pi\mu t}\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k\mu t - x}{2\sqrt{\mu t}}\right).
Como J é obtido trocando x por -x na integral I (simetria), temos
J = e^{kx+k^2\mu t}\,\sqrt{\pi\mu t}\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k\mu t + x}{2\sqrt{\mu t}}\right).
Somando I+J e multiplicando pelo fator \dfrac{1}{\sqrt{4\pi\mu t}} obtemos a solução completa:
u(x,t)=\frac{1}{2}e^{k^2\mu t}\Big[ e^{-k x}\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k\mu t - x}{2\sqrt{\mu t}}\right) + e^{k x}\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k\mu t + x}{2\sqrt{\mu t}}\right) \Big].
Lembre que \mu=c^2. No enunciado foi dado c=1, logo \mu=1. Substituindo \mu=1 obtemos a forma final simplificada:
u(x,t)=\frac{1}{2}e^{k^2 t}\Big[ e^{-k x}\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k t - x}{2\sqrt{t}}\right) + e^{k x}\operatorname{erfc}\!\left(\frac{2k t + x}{2\sqrt{t}}\right) \Big].
Resposta
u(x,t)=\frac{1}{2}e^{k^{2}\mu t}\Bigg[e^{-k x}\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2k\mu t - x}{2\sqrt{\mu t}}\Big) +e^{k x}\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2k\mu t + x}{2\sqrt{\mu t}}\Big)\Bigg],
com \mu=c^{2}. Para c=1 (ou seja \mu=1):
u(x,t)=\frac{1}{2}e^{k^{2}t}\Big[e^{-k x}\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2k t - x}{2\sqrt{t}}\Big) +e^{k x}\operatorname{erfc}\!\Big(\frac{2k t + x}{2\sqrt{t}}\Big)\Big].