Encontre a solução da equação seguinte:
l 2 y^2 y^prime prime=y+y(y^prime)^2 y(2)=5 y^prime(2)=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial com duas condições iniciais. O objetivo é encontrar a função 2 y^2 y'' = y + y (y')^2 que satisfaça a seguinte equação:
Além disso, sabemos que quando , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente de equações de segunda ordem. Precisamos transformar essa equação em algo mais fácil de resolver, talvez reduzindo a ordem da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Observamos que 2 y , y'' = 1 + (y')^2 aparece em todos os termos, então podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Isso já simplifica um pouco a equação.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para reduzir a ordem da equação. Vamos definir 2 y , p' = 1 + p^2 , o que significa que . Substituindo na equação:
Isso nos deixou com uma equação de primeira ordem em termos de e .

Passo 4

Agora, queremos separar as variáveis para integrar. Vamos rearranjar a equaç��o para isolar p' = 1 + p^22 y :
dpdx = 1 + p^22 y
Como , podemos escrever:
Mas precisamos relacionar e . Lembrando que , podemos escrever .

Passo 5

Substituindo dpdy cdot dydx = 1 + p^22 y na equação de p dpdy = 1 + p^22 y , temos:
p , dp1 + p^2 = dy2 y
Como , então:
Agora, conseguimos separar as variáveis e :

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
integral p , dp1 + p^2 = 12 ln(1 + p^2) + C
E a integral do lado direito é:
integral dy2 y = 12 ln y + K
Podemos combinar as constantes de integração e em uma só constante .

Passo 7

Igualando as integrais:
12 ln(1 + p^2) = 12 ln y + C
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
ln(1 + p^2) = ln y + 2C
Podemos escrever ln(1 + p^2) = ln(y A) como , onde é uma constante positiva:

Passo 8

Aplicando a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
1 + p^2 = y A
Então, isolando p^2 = y A - 1 :
(dydx)^2 = y A - 1
Lembrando que :

Passo 9

Vamos resolver para dydx = raizy A - 1 :
dyraizy A - 1 = dx
Esta é uma equa��ão separável. Vamos separar as variáveis:

Passo 10

Integrando ambos os lados, temos:
integral dyraizy A - 1 = integral dx
A integral à esquerda pode ser resolvida usando uma substituição. Seja integral 1raizu cdot duA = 2A raizu + C = 2A raizy A - 1 + C , então 2A raizy A - 1 = x + C , ou seja, :
E a integral do lado direito é simplesmente . Podemos combinar as constantes novamente:

Passo 11

Agora, queremos resolver para raizy A - 1 = A2 (x + C) . Primeiro, isolamos a raiz quadrada:
y A - 1 = (A2)^2 (x + C)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
y A = A^24 (x + C)^2 + 1
y = A4 (x + C)^2 + 1A
Dividindo por :

Passo 12

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar as constantes 5 = A4 (2 + C)^2 + 1A e . Sabemos que quando , e .
Primeiro, substituímos e na equação encontrada:

Passo 13

Também sabemos que y' = ddx ( A4 (x + C)^2 + 1A ) = A2 (x + C) quando 3 = A2 (2 + C) . A derivada da nossa função é:
Substituindo e :

Passo 14

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. 2 + C = 6A
  2. 5 = A4 (6A)^2 + 1A = A4 cdot 36A^2 + 1A = 9A + 1A = 10A
Vamos resolver a segunda equação para 10A = 5 implies A = 2 :
Substituindo isso na primeira equação:
Então:

Passo 15

Com 2 + C = 3 implies C = 1 , voltamos para a equação :

Passo 16

Agora que encontramos y = 24 (x + 1)^2 + 12 = 12 (x + 1)^2 + 12 e y = 12 (x + 1)^2 + 12 , substituímos de volta na expressão para :
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 12 (x + 1)^2 + 12

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