Resolva a equação diferencial y^prime prime-y^prime-2 y=sen 2 t usando coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - y’ - 2y = \sin 2t $. Esse tipo de problema está na área de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função conhecida, como um seno ou cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo sin 2t:
y'' - y' - 2y = 0
Para isso, encontramos a equação característica:
r^2 - r - 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, as raízes são $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $.

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa:
yp(t)
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é $ \sin 2t $, supomos uma solução da forma:
y'' - y' - 2y = sin 2t
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
yp'(t) = -2A sin 2t + 2B cos 2t
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial:
yp''(t) = -4A cos 2t - 4B sin 2t

Passo 6

Vamos simplificar os termos:
-4A cos 2t - 4B sin 2t + 2A sin 2t - 2B cos 2t - 2A cos 2t - 2B sin 2t = sin 2t
Agrupando os termos semelhantes:
(-4A - 2B - 2A) cos 2t + (-4B + 2A - 2B) sin 2t = sin 2t
Simplificando:
(-6A - 2B) cos 2t + (2A - 6B) sin 2t = sin 2t

Passo 7

Para que a igualdade seja válida para todos os $ t $, os coeficientes de $ \cos 2t $ e $ \sin 2t $ devem ser iguais nos dois lados da equação. Portanto, temos o sistema de equações:
t
cos 2t

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
-6A - 2B = 0 implies 3A + B = 0 implies B = -3A
Substituindo $ B = -3A $ na segunda equação:
B = -3A
Então,
2A - 6(-3A) = 1 implies 2A + 18A = 1 implies 20A = 1 implies A = 120

Passo 9

Agora que temos $ A $ e $ B $, a solução particular é:
A

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^2t + C2 e^-t + 120 cos 2t - 320 sin 2t

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’’ - y’ - 2y = \sin 2t $ é:
y'' - y' - 2y = sin 2t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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