Resolva a equação diferencial
usando coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - y’ - 2y = \sin 2t $. Esse tipo de problema está na área de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função conhecida, como um seno ou cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo
:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é $ \sin 2t $, supomos uma solução da forma:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação diferencial:
Passo 6
Vamos simplificar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 7
Para que a igualdade seja válida para todos os $ t $, os coeficientes de $ \cos 2t $ e $ \sin 2t $ devem ser iguais nos dois lados da equação. Portanto, temos o sistema de equações:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo $ B = -3A $ na segunda equação:
Então,
Passo 9
Agora que temos $ A $ e $ B $, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’’ - y’ - 2y = \sin 2t $ é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.