Encontre a solução das equações diferenciais de Bernoulli abaixo:
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial
com
e
. Informações dadas e o que é pedido:
- A equação diferencial é uma equação ordinária de primeira ordem para a função
. - Os parâmetros
e são constantes positivas. - Precisamos obter a solução geral
(ou as soluções particulares, se houver).
Passo 2
Decidimos como atacar o problema. A equação pode ser reescrita como
Aqui dá para separar variáveis: colocar todos os termos com
de um lado e
do outro. Separar variáveis é um método direto e simples quando a equação tem a forma produto de função de
por função de
(aqui a parte em
é só 1). Vou mostrar o passo a passo da separação.
Passo 3
Separe variáveis: divido ambos os lados por
e multiplico por
:
Agora precisamos integrar o lado esquerdo em
. Para isso fazemos decomposição em frações parciais da função racional
.
Passo 4
Fazendo a decomposição em frações parciais: buscamos
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes em
e termos constantes:
- termo constante:
, - coeficiente de
: .
Portanto
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação separada:
Calcule as integrais uma a uma:
-
. -
.
Somando,
onde
é constante de integração.
Multiplicando por
:
com
. Para simplificar, vamos trabalhar com sinais incorporados na constante de integração (podemos tratar as soluções de sinal separado se necessário).
Passo 6
Exponenciando ambos os lados:
onde
é uma constante arbitrária (que pode ser positiva ou negativa, dependendo da condição inicial). Agora isolamos
. Multiplicando:
Colocando os termos com
no mesmo lado:
Logo
Passo 7
Podemos reparametrizar a constante para uma forma mais usual. Defina
(ou, equivalentemente, tomar
). A forma alternativa, mais compacta, é obtida ao inverter a expressão intermediária. Uma forma muito prática é
onde
é constante arbitrária (determinada por uma condição inicial). Para checar consistência: se
então
desde que
. Também existe a solução particular constante
, que vem de
com
.
Passo 8
Observações importantes para a prova (dicas práticas):
- A solução geral é
mais a solução trivial . - Deve-se tomar cuidado com valores de
em que o denominador zera, pois a solução tem singularidade (explosão) quando . - Para aplicar uma condição inicial
basta usar (se ). Se então a solução é a trivial .