Encontre a solução das equações diferenciais de Bernoulli abaixo:
\frac{d y}{d t}=a y+b y^{2}, onde a>0 e b>0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial
\frac{dy}{dt}=a\,y+b\,y^{2},
com a>0 e b>0. Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação diferencial é uma equação ordinária de primeira ordem para a função y(t).
  • Os parâmetros a e b são constantes positivas.
  • Precisamos obter a solução geral y(t) (ou as soluções particulares, se houver).

Passo 2

Decidimos como atacar o problema. A equação pode ser reescrita como
\frac{dy}{dt}=y\,(a+b\,y).
Aqui dá para separar variáveis: colocar todos os termos com y de um lado e t do outro. Separar variáveis é um método direto e simples quando a equação tem a forma produto de função de y por função de t (aqui a parte em t é só 1). Vou mostrar o passo a passo da separação.

Passo 3

Separe variáveis: divido ambos os lados por y(a+b y) e multiplico por dt:
\frac{dy}{y(a+b y)}=dt.
Agora precisamos integrar o lado esquerdo em y. Para isso fazemos decomposição em frações parciais da função racional \dfrac{1}{y(a+b y)}.

Passo 4

Fazendo a decomposição em frações parciais: buscamos A e B tais que
\frac{1}{y(a+b y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{a+b y}.
Multiplicando ambos os lados por y(a+b y) obtemos
1=A(a+b y)+B y.
Comparando coeficientes em y e termos constantes:
  • termo constante: A a = 1 \Rightarrow A=\dfrac{1}{a},
  • coeficiente de y: A b + B = 0 \Rightarrow B=-\dfrac{b}{a}.
Portanto
\frac{1}{y(a+b y)}=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{y}-\frac{b}{a}\cdot\frac{1}{a+b y}.

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação separada:
\int\left(\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{y}-\frac{b}{a}\cdot\frac{1}{a+b y}\right)dy=\int dt.
Calcule as integrais uma a uma:
  • \displaystyle \int\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{a}\ln|y|.
  • \displaystyle \int\left(-\frac{b}{a}\right)\frac{1}{a+b y}\,dy=-\frac{b}{a}\cdot\frac{1}{b}\ln|a+b y|=-\frac{1}{a}\ln|a+b y|.
Somando,
\frac{1}{a}\Big(\ln|y|-\ln|a+b y|\Big)=t+C,
onde C é constante de integração.
Multiplicando por a:
\ln\!\left(\frac{|y|}{|a+b y|}\right)=a t + C_1,
com C_1=aC. Para simplificar, vamos trabalhar com sinais incorporados na constante de integração (podemos tratar as soluções de sinal separado se necessário).

Passo 6

Exponenciando ambos os lados:
\frac{y}{a+b y}=K e^{a t},
onde K=e^{C_1} é uma constante arbitrária (que pode ser positiva ou negativa, dependendo da condição inicial). Agora isolamos y. Multiplicando:
y = (a+b y)K e^{a t}=aK e^{a t}+bK e^{a t}y.
Colocando os termos com y no mesmo lado:
y\big(1-bK e^{a t}\big)=aK e^{a t}.
Logo
y(t)=\frac{aK e^{a t}}{1-bK e^{a t}}.

Passo 7

Podemos reparametrizar a constante para uma forma mais usual. Defina C:=e^{-C_1}=e^{-aC} (ou, equivalentemente, tomar C=\dfrac{1}{K}). A forma alternativa, mais compacta, é obtida ao inverter a expressão intermediária. Uma forma muito prática é
y(t)=\frac{a}{C e^{-a t}-b},
onde C é constante arbitrária (determinada por uma condição inicial). Para checar consistência: se y(0)=y_0 então
C=\frac{a+b y_0}{y_0},
desde que y_0\neq 0. Também existe a solução particular constante y(t)\equiv 0, que vem de dy/dt=0 com y=0.

Passo 8

Observações importantes para a prova (dicas práticas):
  • A solução geral é y(t)=\dfrac{a}{C e^{-a t}-b} mais a solução trivial y\equiv 0.
  • Deve-se tomar cuidado com valores de t em que o denominador zera, pois a solução tem singularidade (explosão) quando C e^{-a t}=b.
  • Para aplicar uma condição inicial y(0)=y_0 basta usar C=(a+b y_0)/y_0 (se y_0\neq0). Se y_0=0 então a solução é a trivial y\equiv0.

Resposta

y(t)=\frac{a}{C e^{-a t}-b},\qquad C\\ \text{constante de integração},çã
\text{solução particular: }y(t)\equiv 0.çã

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