(Teoria da bifurcação) Em alguns problemas físicos, uma certa grandeza observável, por exemplo, uma velocidade, a forma de uma onda, ou uma reação química, depende de um parâmetro que descreve o estado físico. Quando este parâmetro aumenta, atinge-se um valor crítico no qual a velocidade, ou a forma de onda, ou a reação química mudam bruscamente de caráter. Por exemplo, se uma mistura reacional aumenta continuamente a quantidade de um dos reagentes, aparece subitamente figuras de ondas em espiral, de cores variadas, no fluído inicialmente quiescente e homogêneo. Em muitos casos, a análise matemática leva, ao cabo, a uma equação da forma
Nesta equação,
, sã constantes positivas e
é um parâmetro que pode assumir diversos valores. Por exemplo,
pode medir a quantidade de certo reagente e
pode medir o avanço da reação química. Assumindo que
, resolva a equação diferencial observando que a mesma é uma equação de Bernoulli. Após analise o comportamento assintótico das soluções da equação diferencial encontrada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
com
,
constantes e pede que, assumindo
, eu resolva a equação e analise o comportamento assintótico das soluções. Informações relevantes que o enunciado dá:
Não há condição inicial explícita no enunciado, então usarei
(quando necessário) para escrever a solução com constante determinada.
Passo 2
Reescrevo a equação introduzindo uma notação curta para a diferença do parâmetro:
então
e a equação fica
Antes de resolver, é bom notar duas coisas (porque isso ajuda na escolha do método): a equação é autônoma (a variável independente
não aparece explicitamente) e a direita é um polinômio em
. Uma técnica convencional para equações do tipo
é a transformação de Bernoulli; aqui temos um caso com coeficientes constantes e expoente
. Vou aplicar a substituição padrão de Bernoulli para linearizar a equação.
Passo 3
Apresento a substituição de Bernoulli e explico por que funciona: para uma equação do tipo
a substituição
transforma a equação numa linear em
. No nosso caso
,
e
. Logo:
Vou relacionar
com
. Diferenciando
em relação a
:
Passo 4
Substituo
usando a equação original. Como
, temos
Faço as simplificações termo a termo:
Portanto obtemos a equação linear para
:
Reescrevendo de forma padrão:
Passo 5
Resolvo a equação linear de primeira ordem
Método: fator integrante. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
que é equivalente a
Integro em
:
onde
é constante de integração. A integral é direta:
Logo
e dividindo por
obtenho
Passo 6
Volto à variável
. Lembre que
, então
Dessa expressão já podemos extrair
. Como
sempre que
, temos
O sinal é preservado pela equação (porque a RHS é ímpar em
), então quem determina o sinal é a condição inicial
. Se eu quiser escrever a constante
em função de
, faço
, logo
Passo 7
Substituindo
em termos de
e escolhendo o sinal conforme
, uma forma conveniente e explícita da solução é
onde
. Observações importantes sobre essa forma:
- Se
então a solução é (equilíbrio). - Se
o sinal de é o mesmo de , pois o numerador carrega e o denominador é positivo.
(Para verificar que essa expressão é algebraicamente equivalente à anterior: multiplique numerador e denominador adequadamente a partir da expressão com
para obter essa forma sem expoentes negativos.)
Passo 8
Agora a análise assintótica para
(isto é,
). Da expressão de
vemos que quando
,
e portanto
Como
, obtemos
Mais precisamente, se
então
; se
então
; se
fica em
. Portanto existem três equilíbrios:
e
.
Passo 9
Comento a estabilidade desses equilíbrios (explicando de forma simples): a derivada da função direita
é
- Em
: . Como a derivada linear positiva indica crescimento de pequenas perturbações, é um equilíbrio instável (pequenas perturbações crescem exponencialmente inicialmente). - Em
: substituindo, . Derivada negativa indica estabilidade: as soluções são atraídas para esses equilíbrios. Além disso, da forma explícita de vemos que a diferença decai como , logo a convergência para os equilíbrios não-nulos é exponencial com taxa .
Resposta
Comportamento assintótico: para
Além disso,
são equilíbrios estáveis; a convergência para os equilíbrios estáveis é exponencial com taxa
.]