(Teoria da bifurcação) Em alguns problemas físicos, uma certa grandeza observável, por exemplo, uma velocidade, a forma de uma onda, ou uma reação química, depende de um parâmetro que descreve o estado físico. Quando este parâmetro aumenta, atinge-se um valor crítico no qual a velocidade, ou a forma de onda, ou a reação química mudam bruscamente de caráter. Por exemplo, se uma mistura reacional aumenta continuamente a quantidade de um dos reagentes, aparece subitamente figuras de ondas em espiral, de cores variadas, no fluído inicialmente quiescente e homogêneo. Em muitos casos, a análise matemática leva, ao cabo, a uma equação da forma
\frac{d x}{d t}=\left(R-R_{c}\right) x-a x^{3} .
Nesta equação, a \quad e R_{c}, sã constantes positivas e R é um parâmetro que pode assumir diversos valores. Por exemplo, R pode medir a quantidade de certo reagente e x pode medir o avanço da reação química. Assumindo que R>R_{c}, resolva a equação diferencial observando que a mesma é uma equação de Bernoulli. Após analise o comportamento assintótico das soluções da equação diferencial encontrada.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d x}{d t}=\left(R-R_{c}\right) x-a x^{3},
com a>0, R_{c}>0 constantes e pede que, assumindo R>R_{c}, eu resolva a equação e analise o comportamento assintótico das soluções. Informações relevantes que o enunciado dá:
\begin{aligned} &\text{Equação: }\frac{d x}{d t}=(R-R_c)\,x - a\,x^{3},\\\ &\text{Parâmetros: }a>0,\;R_c>0,\;R>R_c.\\\ &\text{Perguntas: } \text{(i) obter a solução geral (dependendo de condição inicial)};\quad \text{(ii) analisar comportamento quando }t\to\infty. \end{aligned}çãâçãçã
Não há condição inicial explícita no enunciado, então usarei x(0)=x_{0} (quando necessário) para escrever a solução com constante determinada.

Passo 2

Reescrevo a equação introduzindo uma notação curta para a diferença do parâmetro:
b := R-R_{c},
então b>0 e a equação fica
\frac{d x}{d t}=b x - a x^{3}.
Antes de resolver, é bom notar duas coisas (porque isso ajuda na escolha do método): a equação é autônoma (a variável independente t não aparece explicitamente) e a direita é um polinômio em x. Uma técnica convencional para equações do tipo x' = p(t)x + q(t)x^{n} é a transformação de Bernoulli; aqui temos um caso com coeficientes constantes e expoente n=3. Vou aplicar a substituição padrão de Bernoulli para linearizar a equação.

Passo 3

Apresento a substituição de Bernoulli e explico por que funciona: para uma equação do tipo
\frac{d x}{d t} + P(t) x = Q(t)\, x^{n},
a substituição
u = x^{1-n}
transforma a equação numa linear em u. No nosso caso P(t)=-b, Q(t)=-a e n=3. Logo:
u = x^{1-3} = x^{-2}.
Vou relacionar du/dt com dx/dt. Diferenciando u=x^{-2} em relação a t:
\frac{du}{dt} = -2 x^{-3}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 4

Substituo \frac{dx}{dt} usando a equação original. Como \frac{dx}{dt}=b x - a x^{3}, temos
\frac{du}{dt} = -2 x^{-3}\,(b x - a x^{3}).
Faço as simplificações termo a termo:
-2 x^{-3}\,(b x) = -2 b x^{-2} = -2 b\,u,
-2 x^{-3}\,(-a x^{3}) = 2 a.
Portanto obtemos a equação linear para u:
\frac{du}{dt} = -2 b\,u + 2 a.
Reescrevendo de forma padrão:
\frac{du}{dt} + 2 b\,u = 2 a.

Passo 5

Resolvo a equação linear de primeira ordem
\frac{du}{dt} + 2 b\,u = 2 a.
Método: fator integrante. O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int 2 b\,dt} = e^{2 b t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
e^{2 b t}\frac{du}{dt} + 2 b e^{2 b t} u = 2 a e^{2 b t},
que é equivalente a
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2 b t} u\bigr) = 2 a e^{2 b t}.
Integro em t:
e^{2 b t} u(t) = \int 2 a e^{2 b t}\,dt + C,
onde C é constante de integração. A integral é direta:
\int 2 a e^{2 b t}\,dt = \frac{2 a}{2 b} e^{2 b t} = \frac{a}{b} e^{2 b t}.
Logo
e^{2 b t} u(t) = \frac{a}{b} e^{2 b t} + C,
e dividindo por e^{2 b t} obtenho
u(t) = \frac{a}{b} + C e^{-2 b t}.

Passo 6

Volto à variável x. Lembre que u=x^{-2}, então
\frac{1}{x(t)^{2}} = u(t) = \frac{a}{b} + C e^{-2 b t}.
Dessa expressão já podemos extrair x(t). Como x^{-2}>0 sempre que x\neq 0, temos
x(t) = \pm \frac{1}{\sqrt{\dfrac{a}{b} + C e^{-2 b t}}}.
O sinal é preservado pela equação (porque a RHS é ímpar em x), então quem determina o sinal é a condição inicial x(0)=x_{0}. Se eu quiser escrever a constante C em função de x_{0}, faço u(0)=x_{0}^{-2}, logo
x_{0}^{-2} = \frac{a}{b} + C \quad\Rightarrow\quad C = x_{0}^{-2} - \frac{a}{b}.

Passo 7

Substituindo C em termos de x_{0} e escolhendo o sinal conforme x_{0}, uma forma conveniente e explícita da solução é
x(t)=\frac{x_{0} e^{b t}}{\sqrt{\,1 + x_{0}^{2}\dfrac{a}{b}\bigl(e^{2 b t}-1\bigr)\,}},
onde b=R-R_{c}>0. Observações importantes sobre essa forma:
  • Se x_{0}=0 então a solução é x(t)\equiv 0 (equilíbrio).
  • Se x_{0}\neq 0 o sinal de x(t) é o mesmo de x_{0}, pois o numerador carrega x_{0} e o denominador é positivo.
(Para verificar que essa expressão é algebraicamente equivalente à anterior: multiplique numerador e denominador adequadamente a partir da expressão com C para obter essa forma sem expoentes negativos.)

Passo 8

Agora a análise assintótica para b>0 (isto é, R>R_{c}). Da expressão de u(t)
u(t)=\frac{a}{b} + \biggl(x_{0}^{-2} - \frac{a}{b}\biggr) e^{-2 b t},
vemos que quando t\to\infty, e^{-2 b t}\to 0 e portanto
\lim_{t\to\infty} u(t)=\frac{a}{b}.
Como x(t)=\pm 1/\sqrt{u(t)}, obtemos
\lim_{t\to\infty} x(t)=\pm \sqrt{\frac{b}{a}}=\pm \sqrt{\frac{R-R_{c}}{a}}.
Mais precisamente, se x_{0}>0 então x(t)\to +\sqrt{b/a}; se x_{0}<0 então x(t)\to -\sqrt{b/a}; se x_{0}=0 fica em 0. Portanto existem três equilíbrios: x=0 e x=\pm\sqrt{b/a}.

Passo 9

Comento a estabilidade desses equilíbrios (explicando de forma simples): a derivada da função direita f(x)=b x - a x^{3} é
f'(x)=b - 3 a x^{2}.
  • Em x=0: f'(0)=b>0. Como a derivada linear positiva indica crescimento de pequenas perturbações, x=0 é um equilíbrio instável (pequenas perturbações crescem exponencialmente inicialmente).
  • Em x=\pm\sqrt{b/a}: substituindo, f'\bigl(\pm\sqrt{b/a}\bigr)=b-3a\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)=b-3b=-2b<0. Derivada negativa indica estabilidade: as soluções são atraídas para esses equilíbrios. Além disso, da forma explícita de u(t) vemos que a diferença u(t)-a/b decai como e^{-2 b t}, logo a convergência para os equilíbrios não-nulos é exponencial com taxa 2 b.

Resposta

x(t)=\frac{x_{0} e^{(R-R_{c}) t}}{\sqrt{\,1 + x_{0}^{2}\dfrac{a}{(R-R_{c})}\bigl(e^{2(R-R_{c}) t}-1\bigr)\,}}, \quad\text{(para }x_{0}=x(0)\text{; se }x_{0}=0\text{ então }x(t)\equiv0\text{).}ã
Comportamento assintótico: para R>R_{c}\) (isto é, \(b=R-R_{c}>0\)), \[\lim_{t\to\infty} x(t)=\begin{cases} +\sqrt{\dfrac{R-R_{c}}{a}}, & \text{se }x_{0}>0,\\[6pt] 0, & \text{se }x_{0}=0,\\[6pt] -\sqrt{\dfrac{R-R_{c}}{a}}, & \text{se }x_{0}<0. \end{cases}
Além disso, x=0\] é instável e \(x=\pm\sqrt{(R-R_{c})/a} são equilíbrios estáveis; a convergência para os equilíbrios estáveis é exponencial com taxa 2(R-R_{c}).]

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