Encontre a solução das equações em termos de logarítmos.
c) 2^{1-x}=3

Passo 1

O enunciado dá a equação exponencial \;2^{1-x}=3\; e pede para encontrar a solução em termos de logaritmos.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \;2 é a base do exponencial (positiva e diferente de 1), o expoente é \;1-x, e o lado direito é \;3 (positivo). A incógnita é x. A solução existe e é única porque a função exponencial com base 2 é estritamente crescente e contínua.

Passo 2

Ideia do método (sem fazer ainda): para resolver equações do tipo \;a^{f(x)}=b\; com a>0 e b>0, o caminho padrão é aplicar logaritmo em ambos os lados. Vou usar o logaritmo natural \ln (poderia ser qualquer base), porque ele transforma potência em multiplicação usando a propriedade
\ln\bigl(a^{k}\bigr)=k\ln a.
Explico isso: o logaritmo é a função inversa da exponencial, então aplicar \ln em ambos os lados preserva a igualdade e permite “descer” o expoente para multiplicar.

Passo 3

Aplico \ln aos dois lados da equação \;2^{1-x}=3\;:
\ln\bigl(2^{1-x}\bigr)=\ln 3.
Agora uso a propriedade de logaritmos mencionada, ou seja, extraio o expoente:
(1-x)\ln 2 = \ln 3.

Passo 4

Agora é álgebra simples para isolar x. Primeiro distribuo (ou vejo que é uma equação linear em x):
\ln 2 - x\ln 2 = \ln 3.
Passo os termos para isolar o termo com x:
-x\ln 2 = \ln 3 - \ln 2.
Multiplico por -1:
x\ln 2 = \ln 2 - \ln 3.
Finalmente, divido por \ln 2 (que é diferente de zero) para obter x:
x = \frac{\ln 2 - \ln 3}{\ln 2}.

Passo 5

Simplifico a expressão anterior para uma forma mais limpa. Dividindo o numerador por \ln 2
x = 1 - \frac{\ln 3}{\ln 2}.
Além disso, usando a fórmula de mudança de base do logaritmo,
\log_{2}3 = \frac{\ln 3}{\ln 2},
podemos escrever a solução de forma equivalente como
x = 1 - \log_{2}3.

Passo 6

Pequena checagem numérica (para sentir que faz sentido): \ln 3\approx 1{,}09861 e \ln 2\approx 0{,}69315, então \dfrac{\ln 3}{\ln 2}\approx 1{,}58496 e
x \approx 1 - 1{,}58496 \approx -0{,}58496.
Verificando na equação original: 2^{1-x}=2^{1-(-0{,}58496)}=2^{1{,}58496}\approx 3. Bate.

Resposta

x = 1 - \dfrac{\ln 3}{\ln 2}

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