Encontre a solução das equações em termos de logarítmos.
c)
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Passo 1
O enunciado dá a equação exponencial
e pede para encontrar a solução em termos de logaritmos.
Informações relevantes extraídas do enunciado: é a base do exponencial (positiva e diferente de 1), o expoente é
, e o lado direito é
(positivo). A incógnita é
. A solução existe e é única porque a função exponencial com base
é estritamente crescente e contínua.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Ideia do método (sem fazer ainda): para resolver equações do tipo
com
e
, o caminho padrão é aplicar logaritmo em ambos os lados. Vou usar o logaritmo natural
(poderia ser qualquer base), porque ele transforma potência em multiplicação usando a propriedade
Explico isso: o logaritmo é a função inversa da exponencial, então aplicar
em ambos os lados preserva a igualdade e permite “descer” o expoente para multiplicar.
Passo 3
Aplico
aos dois lados da equação
:
Agora uso a propriedade de logaritmos mencionada, ou seja, extraio o expoente:
Passo 4
Agora é álgebra simples para isolar
. Primeiro distribuo (ou vejo que é uma equação linear em
):
Passo os termos para isolar o termo com
:
Multiplico por
:
Finalmente, divido por
(que é diferente de zero) para obter
:
Passo 5
Simplifico a expressão anterior para uma forma mais limpa. Dividindo o numerador por
dá
Além disso, usando a fórmula de mudança de base do logaritmo,
podemos escrever a solução de forma equivalente como
Passo 6
Pequena checagem numérica (para sentir que faz sentido):
e
, então
e
Verificando na equação original:
. Bate.