Considere a função:
Determine:
- Se
é contínua no ponto
.
- As derivadas parciais de
no ponto
.
- Se
é diferenciável no ponto
.
Passo 1
O exercício define a função f por partes: para (x,y)≠(0,0) temos f(x,y)=\displaystyle \frac{\ln\bigl(1+x2+y2\bigr)}{(x2+y2)^2} e f(0,0)=0. Precisamos analisar continuidade em (0,0), calcular as derivadas parciais em (0,0) via definição de limite de diferença e, por fim, verificar diferenciabilidade em (0,0).
Passo 2
Para ver se f é contínua em (0,0), estudamos \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y). Usamos coordenadas polares: r2=x2+y^2>0. Então
Passo 3
Como r→0, expandimos ln(1+r2)≈r2+O(r^4). Logo
Passo 4
O limite não é finito e muito menos igual a f(0,0)=0. Logo, f não é contínua em (0,0).
Passo 5
Para a derivada parcial em x no ponto (0,0) usamos
Passo 6
Como f(h,0)=\ln(1+h2)/h4, para h→0 temos f(h,0)≈h2/h4=1/h^2, de modo que
Passo 7
O limite diverge, então ∂f/∂x(0,0) não existe (é “infinito”). De maneira análoga, ∂f/∂y(0,0) também não existe.
Passo 8
Como diferenciabilidade em um ponto exige continuidade nesse ponto, e já vimos que f não é contínua em (0,0), concluímos que f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
f não é contínua em (0,0); as derivadas parciais em (0,0) não existem (são infinitas); f não é diferenciável em (0,0).