Considere a função:
f(x, y)= ( definida abaixo ), & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine:
  1. Se f(x, y) é contínua no ponto (0,0).
  2. As derivadas parciais de f(x, y) no ponto (0,0).
  3. Se f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y)=ln (1+x^2+y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 1

O exercício define a função f por partes: para (x,y)≠(0,0) temos f(x,y)=\displaystyle \frac{\ln\bigl(1+x2+y2\bigr)}{(x2+y2)^2} e f(0,0)=0. Precisamos analisar continuidade em (0,0), calcular as derivadas parciais em (0,0) via definição de limite de diferença e, por fim, verificar diferenciabilidade em (0,0).

Passo 2

Para ver se f é contínua em (0,0), estudamos \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y). Usamos coordenadas polares: r2=x2+y^2>0. Então
f(r)=ln(1+r^2)r^4

Passo 3

Como r→0, expandimos ln(1+r2)≈r2+O(r^4). Logo
f(r)approxr^2r^4=1r^2to+infty

Passo 4

O limite não é finito e muito menos igual a f(0,0)=0. Logo, f não é contínua em (0,0).

Passo 5

Para a derivada parcial em x no ponto (0,0) usamos
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h

Passo 6

Como f(h,0)=\ln(1+h2)/h4, para h→0 temos f(h,0)≈h2/h4=1/h^2, de modo que
f(h,0)-0happrox1/h^2h=1h^3to+infty

Passo 7

O limite diverge, então ∂f/∂x(0,0) não existe (é “infinito”). De maneira análoga, ∂f/∂y(0,0) também não existe.

Passo 8

Como diferenciabilidade em um ponto exige continuidade nesse ponto, e já vimos que f não é contínua em (0,0), concluímos que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

f não é contínua em (0,0); as derivadas parciais em (0,0) não existem (são infinitas); f não é diferenciável em (0,0).

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