Encontre uma solução explícita para cada PVI dado:
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1}, y(2)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1},\qquad y(2)=2.
O que se pede: encontrar uma solução explícita y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes que já podemos notar do enunciado:
  • A equação diferencial é dada por \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}-1}{x^{2}-1}.
  • A condição inicial é y(2)=2.
  • Os denominadores x^{2}-1 (e y^{2}-1 no lado direito como função de y) se anulam em x=\pm1 (e em y=\pm1), portanto pontos x=\pm1 são singulares para o campo de direções. Isso afeta o domínio da solução, que não pode atravessar x=\pm1.

Passo 2

Identificar o tipo de equação e separar variáveis (explicando a ideia). Observando a fórmula, o lado direito é um quociente onde as variáveis x e y aparecem separadamente em fatores dependentes só de y e só de x. Logo a equação é separável: podemos reescrever colocando todas as dependências em y de um lado e as de x do outro. Formalmente:
\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}-1}=\frac{dx}{x^{2}-1}.
A ideia do método separável é integrar cada lado em sua variável; isso transforma a EDO em uma relação implícita entre x e y.

Passo 3

Integrar ambos os lados. Precisamos calcular
\int \frac{dy}{y^{2}-1}\quad\text{e}\quad \int \frac{dx}{x^{2}-1}.
Vamos fazer a integral em y; a integral em x é análoga. Para integrar \dfrac{1}{y^{2}-1} usamos decomposição em frações parciais. Escrevemos
\frac{1}{y^{2}-1}=\frac{1}{(y-1)(y+1)}=\frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+1}.
Encontrando A e B: multiplicando por (y-1)(y+1),
1 = A(y+1)+B(y-1) = (A+B)y + (A-B).
Comparando coeficientes obtemos o sistema A+B=0 e A-B=1. Daí A=\tfrac{1}{2} e B=-\tfrac{1}{2}. Assim
\frac{1}{y^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\right).
Agora integramos:
\int \frac{dy}{y^{2}-1} =\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\right)dy =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right| + C_1.
A integral em x dá a mesma forma:
\int \frac{dx}{x^{2}-1} =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C_2.

Passo 4

Igualar as primitivas obtidas (colocando constante de apenas um lado). A partir de
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right| + C_1 = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C_2
podemos juntar as constantes numa só C (por exemplo C=C_2-C_1) e multiplicar por 2, obtendo
\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right| = \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C.
Exponenciando ambos os lados:
\left|\frac{y-1}{y+1}\right| = K \left|\frac{x-1}{x+1}\right|, \qquad K=e^{C}>0.

Passo 5

Determinar a constante K usando a condição inicial e eliminar módulos quando possível. Avaliamos as frações nos pontos dados:
\left.\frac{y-1}{y+1}\right|_{y=2}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}>0, \qquad \left.\frac{x-1}{x+1}\right|_{x=2}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}>0.
Como ambos são positivos no ponto inicial, podemos dispensar os valores absolutos perto desse ponto e escrever
\frac{y-1}{y+1} = K\frac{x-1}{x+1}.
Aplicando x=2,y=2 para achar K:
\frac{1}{3}=K\cdot\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad K=1.
Portanto a relação implícita é
\frac{y-1}{y+1}=\frac{x-1}{x+1}.

Passo 6

Resolver a relação para obter y explicitamente. Partindo de
\frac{y-1}{y+1}=\frac{x-1}{x+1}
fazemos cruzamento e simplificamos. Multiplicando ambos lados por (y+1)(x+1):
(y-1)(x+1)=(y+1)(x-1).
Expandindo ambos os lados:
yx + y - x -1 = yx - y + x -1.
Cancelam-se yx e -1 dos dois lados, sobrando
y - x = -y + x.
Reagrupando termos:
y + y = x + x \quad\Rightarrow\quad 2y = 2x \quad\Rightarrow\quad y = x.
Logo a solução explícita candidata é y(x)=x.

Passo 7

Verificações e domínio. Verificamos que y(x)=x satisfaz a condição inicial y(2)=2 e também satisfaz a equação diferencial sempre que x\neq\pm1, pois
\frac{dy}{dx}=1\quad\text{e}\quad\frac{y^{2}-1}{x^{2}-1}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}=1\\ (x\neq\pm1).
Quanto ao domínio: como a equação original tem singularidades em x=\pm1, a solução que passa por x=2 é válida no intervalo que contém 2 e que não cruza esses pontos singulares; o intervalo natural contendo 2 é (1,\infty). Pelo teorema de existência e unicidade (aplicável localmente onde o lado direito é contínuo em x e Lipschitz em y), a solução encontrada é única nessa vizinhança de x=2.

Resposta

\displaystyle y(x)=x,\\ \text{para } x>1

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