O que se pede: encontrar uma solução explícita y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes que já podemos notar do enunciado:
A equação diferencial é dada por \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}-1}{x^{2}-1}.
A condição inicial é y(2)=2.
Os denominadores x^{2}-1 (e y^{2}-1 no lado direito como função de y) se anulam em x=\pm1 (e em y=\pm1), portanto pontos x=\pm1 são singulares para o campo de direções. Isso afeta o domínio da solução, que não pode atravessar x=\pm1.
Passo 2
Identificar o tipo de equação e separar variáveis (explicando a ideia). Observando a fórmula, o lado direito é um quociente onde as variáveis x e y aparecem separadamente em fatores dependentes só de y e só de x. Logo a equação é separável: podemos reescrever colocando todas as dependências em y de um lado e as de x do outro. Formalmente:
Quanto ao domínio: como a equação original tem singularidades em x=\pm1, a solução que passa por x=2 é válida no intervalo que contém 2 e que não cruza esses pontos singulares; o intervalo natural contendo 2 é (1,\infty). Pelo teorema de existência e unicidade (aplicável localmente onde o lado direito é contínuo em x e Lipschitz em y), a solução encontrada é única nessa vizinhança de x=2.