Prove que \lim_{x \to 0} f(x) = 0

Passo 1

O enunciado pede: provar que \lim_{x\to 0} f(x)=0.
Informações fornecidas no enunciado:
  • Apenas a afirmação acima: provar que \lim_{x\to 0} f(x)=0.
  • Não há nenhuma definição, fórmula, propriedade ou hipótese sobre a função f (por exemplo: expressão explícita, continuidade, comportamento assintótico, forma de f(x) perto de 0, etc.).

Passo 2

Por que isso é um problema — breve e direto: o valor do limite depende da definição/expression/hipóteses sobre f. Sem qualquer informação sobre f não é possível provar que o limite vale 0, porque existem muitas funções que têm limite 0 em 0 e muitas que não.
Exemplos que mostram a ambiguidade (cada um é uma função diferente; os exemplos servem para ver que o enunciado está incompleto):
  • A função f(x)=0 para todo x satisfaz \lim_{x\to0} f(x)=0.
  • A função f(x)=1 para todo x tem \lim_{x\to0} f(x)=1, logo não dá 0.
  • A função f(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) (definida para x\neq0 e, por exemplo, f(0)=0) não tem limite quando x\to0.
  • A função f(x)=\dfrac{1}{x} não tem limite finito quando x\to0.
Assim, com somente a frase do enunciado não há como provar a afirmação — pode ser verdadeira ou falsa dependendo de f.

Passo 3

O que eu posso fazer por você agora: listar hipóteses razoáveis que, se verdadeiras para f, permitem provar \lim_{x\to0} f(x)=0. Para cada hipótese dou o raciocínio passo a passo (estilo “como provar na prova”).
Hipótese A — continuidade em 0 e f(0)=0.
  • Definição usada: uma função f é contínua em 0 se \lim_{x\to0} f(x)=f(0).
  • Se sabemos que f é contínua em 0 e que f(0)=0, então por definição da continuidade \lim_{x\to0} f(x)=0.
  • Conclusão: sob essas hipóteses a prova é imediata (basta citar a definição de continuidade).

Passo 4

Hipótese B — f(x) é produto de x por uma função limitada perto de 0, isto é, existe g e M>0 tais que f(x)=x\,g(x) para x próximo de 0 e |g(x)|\le M nessa vizinhança.
Prova passo a passo (epsilon–delta):
  • Objetivo: mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |f(x)-0|<\varepsilon sempre que 0<|x|<\delta.
  • Começamos com |f(x)|=|x||g(x)|.
  • Como |g(x)|\le M, temos |f(x)|\le M|x|.
  • Para garantir |f(x)|<\varepsilon basta garantir M|x|<\varepsilon, isto é, |x|<\dfrac{\varepsilon}{M}.
  • Escolha \delta=\dfrac{\varepsilon}{M}. Então, sempre que 0<|x|<\delta segue |f(x)|\le M|x|<M\delta=\varepsilon.
  • Portanto \lim_{x\to0} f(x)=0.
Observação prática: muitas funções comuns (por exemplo x\sin(1/x), x\cos(1/x), x\cdot h(x) com h limitada) se encaixam aqui.

Passo 5

Hipótese C — desigualdades (Teorema do Sanduíche / Squeeze).
  • Situação típica: consegue-se encontrar duas funções g,h tais que g(x)\le f(x)\le h(x) perto de 0 e \lim_{x\to0} g(x)=\lim_{x\to0} h(x)=0.
  • Teorema do Sanduíche: se g(x)\le f(x)\le h(x) numa vizinhança de 0 (exceto talvez em 0) e \lim_{x\to0} g(x)=\lim_{x\to0} h(x)=L então \lim_{x\to0} f(x)=L.
  • Aplicação para L=0: então \lim_{x\to0} f(x)=0.
Exemplo concreto (passo a passo): f(x)=x^2\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) para x\neq0.
  • Sabendo |\sin t|\le1 para todo t, obtemos -x^2 \le x^2\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\le x^2.
  • Como \lim_{x\to0} (-x^2)=\lim_{x\to0} x^2=0, pelo Squeeze segue \lim_{x\to0} x^2\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=0.

Passo 6

Método por sequências (critério de limite via sequências) — útil tanto para provar como para refutar existência de limite.
Fato: \lim_{x\to0} f(x)=L se, e somente se, para toda sequência (x_n) com x_n\to0 e x_n\neq0 para todo n, a sequência f(x_n)\to L.
Como usar:
  • Para provar o limite igual a 0: mostre que para toda sequência x_n\to0 tem f(x_n)\to0.
  • Para refutar que \lim_{x\to0} f(x)=0: basta encontrar duas sequências x_n\to0 e y_n\to0 tais que f(x_n) e f(y_n) têm limites diferentes (ou um não converge). Ex.: para f(x)=\sin(1/x) escolha x_n=\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n} e y_n=\dfrac{1}{-\frac{\pi}{2}+2\pi n} para obter subsequências com limites diferentes.

Passo 7

Usando L’Hôpital (quando f aparece como razão): se f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} e na forma indeterminada 0/0 e derivadas existem, L’Hôpital pode ajudar.
  • Exemplo simples: \lim_{x\to0} \dfrac{\sin x}{x}=1 (caso clássico). Para obter limite 0 via L’Hôpital, tipicamente a razão tem que ter numerador que vai a 0 mais “rápido” que o denominador ao ponto de produzir 0.
  • Regra prática: só aplique L’Hôpital se realmente estiver em forma 0/0 (ou \infty/\infty) e for mais simples trabalhar com derivadas.

Passo 8

Template prático que você pode usar numa prova (passo a passo generalizado):
  1. Identificar a informação disponível sobre f perto de 0 (continuidade? fator x? desigualdade? expressão explícita?).
  2. Escolher a ferramenta adequada:
    • se f(0) e continuidade → citar continuidade;
    • se aparecer fator x → tentar fatorar e usar função limitada (Passo 4);
    • se houver um produto com algo limitado → limite é 0;
    • se puder comparar com funções que vão a 0 → usar Squeeze (Passo 5);
    • se for uma razão em 0/0 → considerar L’Hôpital (Passo 7);
    • se não tiver certeza, testar pelo critério de sequências (Passo 6).
  3. Fazer prova epsilon–delta quando necessário: escrever |f(x)-0|<\varepsilon e construir \delta em função de \varepsilon.
  4. Se precisar refutar, encontrar sequências que dão limites diferentes.

Passo 9

Demonstração prática curta de um exemplo para treinar (estilo que você pode reproduzir na prova):
Exemplo: provar \lim_{x\to0} x\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=0.
Prova:
  • Para x\neq0, |x\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)|\le |x|\cdot 1=|x|, pois |\sin|\le1.
  • Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se 0<|x|<\delta então |x\sin(1/x)|\le|x|<\delta=\varepsilon.
  • Assim \lim_{x\to0} x\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=0.

Passo 10

Resumo final do que se pode concluir para o enunciado original: com a informação dada (apenas “Prove que \lim_{x\to0} f(x)=0”) não há como provar a afirmação porque falta a definição ou hipóteses sobre f. Porém, se forem apresentadas quaisquer das hipóteses discutidas (continuidade em 0 com f(0)=0; fator x vezes função limitada; desigualdades que permitem aplicar Squeeze; comportamento em sequências; ou outras propriedades mostradas), dei templates claros e exemplos de como provar passo a passo.

Resposta

Não é possível provar: o enunciado não define a função f nem fornece hipóteses sobre ela, portanto não se pode concluir que \lim_{x\to0} f(x)=0 sem informação adicional.

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