Verifique se a função f\) é contínua no ponto especificado. d) \(f(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\\\ 1, & x = 1 \\\ x, & x > 1 \\\ \end{cases} em x = 1

Passo 1

O enunciado pede: verificar se a função abaixo é contínua no ponto [x=1).
A função fornecida é
f(x)= \begin{cases} x, & x<1,\\[4pt] 1, & x=1,\\[4pt] x, & x>1. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • Para x<1\] temos \(f(x)=x.
  • Em x=1 temos f(1)=1.
  • Para x>1 temos f(x)=x.
  • A pergunta é apenas sobre continuidade em x=1.]

Passo 2

Definição de continuidade num ponto (explicação didática):
Uma função f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para que o limite \lim_{x\to a} f(x) exista é preciso que os limites laterais existam e coincidam:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Ou seja, para checar continuidade em x=1 vamos:
  1. calcular \lim_{x\to1^-} f(x);
  2. calcular \lim_{x\to1^+} f(x);
  3. verificar se esses dois limites são iguais e iguais a f(1).

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda:
Para x<1 usamos f(x)=x. A função identidade x\mapsto x tem a propriedade intuitiva (e rigorosa) de que quando x se aproxima de 1, o valor x se aproxima de 1. Logo
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} x = 1.
Explicando sem pular etapas: para qualquer sequência x_n com x_n<1 e x_n\to1, tem-se f(x_n)=x_n\to1. Portanto o limite lateral à esquerda é 1.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita:
Para x>1 também temos f(x)=x. Pelo mesmo raciocínio,
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} x = 1.
Assim os limites laterais existem e valem o mesmo número 1.

Passo 5

Comparação com o valor da função em 1 e prova \varepsilon- \delta simples (rigor extra, mas fácil):
Sabemos que f(1)=1. Como
\lim_{x\to1^-} f(x)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to1^+} f(x)=1,
temos \lim_{x\to1} f(x)=1. Portanto o limite coincide com f(1), o que já mostra continuidade.
Para ficar mais didático, uma prova \varepsilon- \delta curta: seja \varepsilon>0. Escolha \delta=\varepsilon. Se 0<|x-1|<\delta então x\neq1 e, por definição da função, f(x)=x. Assim
|f(x)-f(1)|=|x-1|<\delta=\varepsilon.
Isso mostra diretamente que \lim_{x\to1} f(x)=f(1) segundo a definição epsilon-delta, logo f é contínua em 1.

Resposta

A função f é contínua em x=1.

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