Encontre a solução explicita para a equação diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial dada por:
Esse tipo de problema está ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro. Isso é o que chamamos de separação de variáveis. Então, multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Agora, temos as variáveis separadas: tudo com
de um lado e tudo com
do outro.
Passo 3
O próximo passo é integrar ambos os lados dessa equação. Vamos começar com o lado esquerdo, que tem
:
Integrando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos integrar o lado direito, que tem
:
Novamente, integrando termo a termo:
Passo 5
Juntando as integrações feitas nos passos anteriores, temos:
Aqui,
é a constante de integração, que aparece quando integramos.
Passo 6
Agora, queremos encontrar a solução explícita para
em função de
. Porém, a equação que chegamos é um pouco complicada para isolar
diretamente, já que ela envolve um polinômio de terceiro grau em
. Isso significa que não conseguimos resolver algebricamente para
de forma simples.
Então, nossa solução fica implícita, ou seja,
está definido em relação a
, mas não de forma isolada.
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.