Encontre a solução explicita para a equação diferenciais. y' = (3x + 1) / (y^2 + 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial dada por:
Esse tipo de problema está ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro. Isso é o que chamamos de separação de variáveis. Então, multiplicamos ambos os lados por e por :
Agora, temos as variáveis separadas: tudo com de um lado e tudo com do outro.

Passo 3

O próximo passo é integrar ambos os lados dessa equação. Vamos começar com o lado esquerdo, que tem :
Integrando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito, que tem :
Novamente, integrando termo a termo:

Passo 5

Juntando as integrações feitas nos passos anteriores, temos:
Aqui, é a constante de integração, que aparece quando integramos.

Passo 6

Agora, queremos encontrar a solução explícita para em função de . Porém, a equação que chegamos é um pouco complicada para isolar diretamente, já que ela envolve um polinômio de terceiro grau em . Isso significa que não conseguimos resolver algebricamente para de forma simples.
Então, nossa solução fica implícita, ou seja, está definido em relação a , mas não de forma isolada.

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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