Segundo o economista clássico Malthus,
Onde a taxa
é uma constante de proporcionalidade que relaciona a Natalidade (
) e a Mortalidade (
) e é dada por
- m . A Equação Diferencial Linear Ordinária, acima, apresenta como solução a função dada pela expressão
onde
é a população inicial no instante
, ou seja:
. Portanto, conclui-se que:
- Se
, a população cresce.
- Se
, a população se reduzirá.
Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá falando. A gente tem uma equação diferencial que descreve como a população (
) muda ao longo do tempo (
). A equação é:
Aqui,
é uma constante que depende da taxa de natalidade (
) e mortalidade (
), sendo dada por
. Basicamente, a gente quer resolver essa equação para encontrar a função
que descreve a população em qualquer tempo
. Além disso, a questão nos diz que se
, a população cresce, e se
, a população diminui. Vamos precisar conhecer um pouco de equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para esse tipo de equação é:
Onde:
-
é a população inicial no tempo . -
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2.71828.
Essa função mostra como a população cresce ou diminui exponencialmente ao longo do tempo, dependendo do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da população de acordo com o valor de
:
-
Se
: - A exponencial
vai aumentar à medida que o tempo aumenta. - Isso significa que
vai crescer, ou seja, a população está aumentando.
- A exponencial
-
Se
: - A exponencial
vai diminuir à medida que o tempo aumenta. - Nesse caso,
vai diminuir, indicando que a população está se reduzindo.
- A exponencial
Isso confirma o que a questão pediu para concluir sobre o comportamento da população com base no sinal de
.
Resposta
Se
, a população cresce conforme
. Se
, a população diminui de acordo com a mesma função. Portanto:
-
Com
, a população cresce. -
Com
, a população se reduz.