Para a equação diferencial
, verifique que
é uma solução. (Suponha
0.) Em seguida, encontre a solução particular determinada pela condição inicial
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Primeiro, vamos verificar se
é uma solução dessa equação. Depois, vamos encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial
quando
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e substituição de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente uma solução da equação. Para isso, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
Então, a equação fica:
Passo 6
Para a expressão ser igual a zero, cada termo deve se anular ou cancelar. No entanto, como
e
são funções exponenciais diferentes, a única solução possível é que os coeficientes sejam zero, o que não acontece aqui. Portanto, percebemos que houve um erro na substituição.
Passo 7
Na verdade, a equação original é
. Vamos reescrever isso para facilitar:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 8
Agora, substituímos
por
:
Essa equação não é verdadeira para todo
, o que indica que
não é uma solução da equação diferencial dada.
Passo 9
Parece que houve uma confusão na verificação inicial. Vamos reconsiderar a equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Aplicando a condição inicial
quando
:
Passo 12
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução particular que satisfaz a condição inicial
quando
é: