Para a equação diferencial x y y' - 3 y = 0, verifique que y = 4 e^(-x) é uma solução. (Suponha x > 0.) Em seguida, encontre a solução particular determinada pela condição inicial y = 2 quando x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Primeiro, vamos verificar se é uma solução dessa equação. Depois, vamos encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial quando . Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e substituição de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é realmente uma solução da equação. Para isso, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Calculando a derivada de :

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
Então, a equação fica:

Passo 6

Para a expressão ser igual a zero, cada termo deve se anular ou cancelar. No entanto, como e são funções exponenciais diferentes, a única solução possível é que os coeficientes sejam zero, o que não acontece aqui. Portanto, percebemos que houve um erro na substituição.

Passo 7

Na verdade, a equação original é . Vamos reescrever isso para facilitar:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 8

Agora, substituímos por :
Essa equação não é verdadeira para todo , o que indica que não é uma solução da equação diferencial dada.

Passo 9

Parece que houve uma confusão na verificação inicial. Vamos reconsiderar a equação original:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Aplicando a condição inicial quando :

Passo 12

Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial quando é:

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