Encontre a solução geral de cada EDO. Identifique o caso ( 1,2 ou 3 ). 2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-3 y=0
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a EDO homogênea de segunda ordem dada:
Encontrar a solução geral de 2 y'' - 5 y' - 3 y = 0.
Identificar qual dos casos (1, 2 ou 3) ocorre.
Informações dadas (coeficientes que vamos usar):
Coeficiente de y'':\;2.
Coeficiente de y':\;-5.
Coeficiente de y:\;-3.
Passo 2
Método escolhido (explicação didática): procurar soluções da forma y(x)=e^{r x}, porque exponenciais transformam derivadas em fatores algébricos — isso simplifica a EDO para uma equação polinomial em r. Esse polinômio em r é chamado de equação característica. Se \,r_1 e \,r_2 forem raízes da característica, as soluções correspondentes são e^{r_1 x} e e^{r_2 x}; a solução geral é combinação linear dessas, quando as raízes são distintas.
Passo 3
Formo a equação característica substituindo y=e^{r x} em 2 y'' - 5 y' - 3 y = 0.
Como y'=r e^{r x} e y''=r^2 e^{r x}, fatorando e^{r x} (que nunca é zero) obtemos a equação polinomial
2 r^2 - 5 r - 3 = 0.
Passo 4
Para classificar as raízes e resolvê-las uso o discriminante da quadrática. O discriminante é
Como W(x)\neq 0 para todo x, as duas soluções são linearmente independentes e formam uma base do espaço de soluções, justificando a forma da solução geral.]
Passo 8
Checagem rápida (opcional, mas boa prática): substituindo y=e^{3x} na EDO: