Encontre a solução geral de cada EDO. Identifique o caso ( 1,2 ou 3 ).
2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a EDO homogênea de segunda ordem dada:
  • Encontrar a solução geral de 2 y'' - 5 y' - 3 y = 0.
  • Identificar qual dos casos (1, 2 ou 3) ocorre.
Informações dadas (coeficientes que vamos usar):
  • Coeficiente de y'':\;2.
  • Coeficiente de y':\;-5.
  • Coeficiente de y:\;-3.

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): procurar soluções da forma y(x)=e^{r x}, porque exponenciais transformam derivadas em fatores algébricos — isso simplifica a EDO para uma equação polinomial em r. Esse polinômio em r é chamado de equação característica. Se \,r_1 e \,r_2 forem raízes da característica, as soluções correspondentes são e^{r_1 x} e e^{r_2 x}; a solução geral é combinação linear dessas, quando as raízes são distintas.

Passo 3

Formo a equação característica substituindo y=e^{r x} em 2 y'' - 5 y' - 3 y = 0.
Como y'=r e^{r x} e y''=r^2 e^{r x}, fatorando e^{r x} (que nunca é zero) obtemos a equação polinomial
2 r^2 - 5 r - 3 = 0.

Passo 4

Para classificar as raízes e resolvê-las uso o discriminante da quadrática. O discriminante é
\Delta = (-5)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49.
Como \Delta>0, a equação tem duas raízes reais distintas. (Isto corresponde ao que se costuma chamar de caso 1: raízes reais e distintas.)

Passo 5

Calculo as raízes com a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
r=\frac{5\pm\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 7}{4}.
Portanto
r_1=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3, \qquad r_2=\frac{5-7}{4}=\frac{-2}{4}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Como as duas raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
Substituindo r_1=3 e r_2=-\tfrac{1}{2} obtemos
y(x)=C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x/2},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais, se houver.

Passo 7

Breve justificativa de independência das soluções (pra usar na prova): calcule o Wronskiano das duas soluções e^{3x} e e^{-x/2}:
W(x)=\begin{vmatrix} e^{3x} & e^{-x/2}\\[4pt] 3e^{3x} & -\tfrac{1}{2}e^{-x/2} \end{vmatrix} = e^{3x}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-x/2}\right)-e^{-x/2}\left(3e^{3x}\right) = e^{\frac{5}{2}x}\left(-\tfrac{1}{2}-3\right) = -\tfrac{7}{2} e^{\frac{5}{2}x}.
Como W(x)\neq 0 para todo x, as duas soluções são linearmente independentes e formam uma base do espaço de soluções, justificando a forma da solução geral.]

Passo 8

Checagem rápida (opcional, mas boa prática): substituindo y=e^{3x} na EDO:
y'=3e^{3x},\qquad y''=9e^{3x},
2y''-5y'-3y=2\cdot9e^{3x}-5\cdot3e^{3x}-3e^{3x}=(18-15-3)e^{3x}=0.
Analogamente y=e^{-x/2} também satisfaz, então ambas são soluções válidas.

Resposta

y(x)=C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x/2}
Caso 1 (raízes reais e distintas)

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