Encontre a solução geral de cada EDO. Identifique o caso ( 1,2 ou 3 ).
(1) y^{\prime \prime}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial
y''-4y=0:
  • Encontrar a solução geral y(x) (ou seja, a família de todas as soluções).
  • Identificar qual é o caso entre 1,2 ou 3.
Informações dadas: é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, homogênea e com coeficientes constantes.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (método clássico e direto): procurar soluções da forma exponencial
y(x)=e^{r x},
porque ao derivar uma exponencial ela volta a ser proporcional a si mesma — isso transforma a EDO em uma equação algébrica para r. Não precisa pensar em nada complicado: é um palpite eficiente que funciona para EDOs lineares com coeficientes constantes.

Passo 3

Calcular as derivadas de y(x)=e^{r x}:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^2 e^{r x}.
Substituindo na EDO \,y''-4y=0:
r^2 e^{r x}-4 e^{r x}=0.

Passo 4

Fatorando e^{r x} (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
e^{r x}\bigl(r^2-4\bigr)=0\quad\Rightarrow\quad r^2-4=0.
Resolver r^2-4=0. Podemos fatorar:
r^2-4=(r-2)(r+2)=0,
portanto as raízes são
r_1=2,\qquad r_2=-2.

Passo 5

Explicando os “casos” (resumo didático):
  • Caso 1: duas raízes reais e distintas r_1\neq r_2 → solução geral y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
  • Caso 2: raiz real dupla r_1=r_2=r → solução geral y=(C_1+C_2 x)e^{r x}.
  • Caso 3: raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta → solução geral y=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr).
No nosso problema as raízes são reais e diferentes ( 2 e -2), então estamos no Caso 1.

Passo 6

Aplicando a fórmula do Caso 1 com r_1=2 e r_2=-2, a solução geral é
y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (estes valores são fixados por condições iniciais, se houver).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas didática): calcular
y' = 2C_1 e^{2x}-2C_2 e^{-2x},\qquad y''=4C_1 e^{2x}+4C_2 e^{-2x},
e então
y''-4y=\bigl(4C_1 e^{2x}+4C_2 e^{-2x}\bigr)-4\bigl(C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x}\bigr)=0,
confirmando que a solução encontrada satisfaz a EDO.

Resposta

y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x}
Caso 1 (raízes reais e distintas)

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