Encontre a solução geral de cada EDO. Identifique o caso ( 1,2 ou 3 ).
(1)
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Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial
- Encontrar a solução geral
(ou seja, a família de todas as soluções). - Identificar qual é o caso entre
ou .
Informações dadas: é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, homogênea e com coeficientes constantes.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (método clássico e direto): procurar soluções da forma exponencial
porque ao derivar uma exponencial ela volta a ser proporcional a si mesma — isso transforma a EDO em uma equação algébrica para
. Não precisa pensar em nada complicado: é um palpite eficiente que funciona para EDOs lineares com coeficientes constantes.
Passo 3
Calcular as derivadas de
:
Substituindo na EDO
:
Passo 4
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Resolver
. Podemos fatorar:
portanto as raízes são
Passo 5
Explicando os “casos” (resumo didático):
- Caso
: duas raízes reais e distintas → solução geral . - Caso
: raiz real dupla → solução geral . - Caso
: raízes complexas conjugadas → solução geral .
No nosso problema as raízes são reais e diferentes (
e
), então estamos no Caso
.
Passo 6
Aplicando a fórmula do Caso
com
e
, a solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias (estes valores são fixados por condições iniciais, se houver).
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas didática): calcular
e então
confirmando que a solução encontrada satisfaz a EDO.
Resposta
Caso