Encontre a expressão da função de primeiro grau \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}), satisfazendo as condições dadas. Represente a função graficamente.
f(-3)=5 e f(3)=-3

Passo 1

O enunciado nos dá duas condições sobre uma função de 1º grau:
  • f(-3)=5
  • f(3)=-3
O que é pedido:
  • Encontrar a expressão da função de primeiro grau f(x) que satisfaz essas duas condições.
  • Representar a função graficamente (indicar como traçar a reta, pontos importantes e interceptos).

Passo 2

Forma geral e significado dos coeficientes.
Uma função de primeiro grau tem a forma
f(x)=ax+b,
onde:
  • a é o coeficiente angular (a inclinação da reta, chamado também de declive ou “slope”). Ele diz quanto f(x) varia quando x aumenta de 1 unidade.
  • b é o coeficiente linear (o intercepto em y): o valor de f(x) quando x=0, ou seja f(0)=b.
Para determinar a usamos a fórmula do coeficiente angular entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Passo 3

Calcular o coeficiente angular a a partir dos pontos dados.
Os dois pontos fornecidos são (-3,5) e (3,-3). Aplicando a fórmula:
a=\frac{-3-5}{3-(-3)}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}.
Interpretação: para cada aumento de 1 em x, f(x) diminui em \tfrac{4}{3}.

Passo 4

Encontrar o coeficiente linear b substituindo um dos pontos na forma f(x)=ax+b. Vou usar (3,-3):
-3 = a\cdot 3 + b.
Substituindo a=-\dfrac{4}{3}:
-3 = 3\left(-\frac{4}{3}\right) + b = -4 + b.
Logo
b = -3 + 4 = 1.
Verificação rápida usando (-3,5):
a\cdot(-3)+b = -\frac{4}{3}\cdot(-3)+1 = 4+1=5,
confere com f(-3)=5.

Passo 5

Escrever a função final.
Com a=-\dfrac{4}{3} e b=1 temos
f(x)=-\frac{4}{3}x+1.

Passo 6

Checagem dos pontos dados (verificação final):
f(3)=-\frac{4}{3}\cdot 3 + 1 = -4+1=-3,
f(-3)=-\frac{4}{3}\cdot(-3)+1 = 4+1=5.
Ambos os valores batem com o enunciado.

Passo 7

Encontrar interceptos e pontos úteis para desenhar a reta.
  • Intercepto em y: f(0)=1. Então o ponto (0,1) é o intercepto em y.
  • Intercepto em x: resolver 0=-\dfrac{4}{3}x+1
x=\frac{3}{4}.
Logo intercepto em x é \left(\tfrac{3}{4},0\right).
  • Pontos dados para plotar (já inteiros): (-3,5) e (3,-3). Note que a partir de (0,1) aplicando a inclinação a=-\tfrac{4}{3} pode-se ir 3 unidades à direita (x+3) e 4 unidades para baixo (y-4) para alcançar (3,-3).

Passo 8

Como representar graficamente (passo a passo prático):
  1. Desenhe eixos cartesianoss com uma escala que mostre x de, por exemplo, -4 a 4 e y de -4 a 6. Marque as unidades uniformemente.
  2. Plote os pontos (-3,5) e (3,-3). Plote também (0,1) (y-intercept) e \left(\tfrac{3}{4},0\right) (x-intercept) se quiser mais referência.
  3. Trace uma reta passando por dois desses pontos (por exemplo por (-3,5) e (3,-3)). A reta contínua é o gráfico de f(x)=-\tfrac{4}{3}x+1.
    Dica de desenho: a partir de (0,1) mova 3 unidades à direita e 4 para baixo para chegar em (3,-3); isso ajuda a garantir a inclinação correta.

Resposta

f(x)=-\dfrac{4}{3}x+1
Gráfico: reta que passa por (-3,5) e (3,-3); interceptos em (0,1) e \left(\tfrac{3}{4},0\right).

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