Encontre a solução geral para cada equação dada:
Questão
Equação
Resposta
1
2
3
| Questão | Equação | Resposta |
| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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Passo 1
O enunciado dá três equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas com coeficientes constantes e pede a solução geral de cada uma. Vou listar cada equação e o que é solicitado:
- Questão 1: encontrar a solução geral de
. - Questão 2: encontrar a solução geral de
. - Questão 3: encontrar a solução geral de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Todas são equações homogêneas com coeficientes constantes.
- Para cada equação deve ser obtida a família geral de soluções (com constantes arbitrárias
).
Passo 2
Método geral (lembrança passo a passo e linguagem simples): para uma equação linear homogênea de ordem
com coeficientes constantes, substitui-se uma solução do tipo
. Isso transforma a EDO numa equação polinomial em
(chamada equação característica). Os tipos de raízes da característica determinam a forma da solução geral:
- Se
é raiz real simples (multiplicidade 1), a contribuição é . - Se
é raiz real de multiplicidade , as contribuições são . - Se aparecem raízes complexas conjugadas
(multiplicidade 1), a contribuição é . - Se
é raiz complexa com multiplicidade , multiplica-se cada termo por polinômio em de grau até : , onde são polinômios de grau (em prática aparecem constantes e termos em ).
Vou aplicar esse procedimento em cada equação, explicando cada passo de conta.
Passo 3
Equação:
.
- Formo a equação característica substituindo
, , . Dividindo por (não zero) obtém-se:
- Resolver a quadrática. Calcular o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando
:
- Para raízes complexas
a solução geral é
Aqui
e
. Portanto a solução geral é
Passo 4
Equação:
.
- Formo a característica usando
:
- Fatorar o polinômio:
Logo
é raiz de multiplicidade
(porque fator
), e as outras raízes vêm de
.
- Resolver
. O discriminante é
raízes complexas:
Estas são conjugadas com
e
.
- Agora montar a solução geral combinando contribuições:
- Para
de multiplicidade : contribui com e . - Para as raízes complexas simples
: contribuem com , isto é .
- Juntando:
Passo 5
Equação:
.
- Formo a característica com
:
- Observação prática: essa equação depende apenas de
. Faço a substituição . Assim
- Resolver a quadrática em
. Calcular discrimante:
Como
, a raiz é dupla:
- Voltar a
: . Então
Cada um desses raízes complexas aparece com multiplicidade
porque
foi raiz dupla (portanto o par
é raiz dupla).
- Para um par de raízes complexas conjugadas
com multiplicidade , a contribuição para a solução geral é
Aqui
(não há parte real) e
. Como
,
. Assim a solução geral pode ser escrita como
- Reescrevendo em forma equivalente (agrupando termos):