Encontre a solução geral para cada equação dada:
Questão Equação Resposta
1 3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0 y=e^{-x / 3}\left(c_{1} \cos \frac{\sqrt{2}}{3} x+c_{2} \operatorname{sen} \frac{\sqrt{2}}{3} x\right)
2 \frac{d^{4} y}{d x^{4}}+\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0 y=c_{1}+c_{2} x+e^{-x / 2}\left(c_{3} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x+c_{4} \operatorname{sen} \frac{\sqrt{3}}{2} x\right)
3 16 \frac{d^{4} y}{d x^{4}}+24 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+9 y=0 y=c_{1} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x+c_{2} \operatorname{sen} \frac{\sqrt{3}}{2} x+x .\left(c_{3} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x+c_{4} \operatorname{sen} \frac{\sqrt{3}}{2} x\right)

Passo 1

O enunciado dá três equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas com coeficientes constantes e pede a solução geral de cada uma. Vou listar cada equação e o que é solicitado:
  • Questão 1: encontrar a solução geral de \,3y''+2y'+y=0\,.
  • Questão 2: encontrar a solução geral de \,\dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}+\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}+\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0\,.
  • Questão 3: encontrar a solução geral de \,16\dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}+24\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+9y=0\,.
Informações relevantes fornecidas:
  • Todas são equações homogêneas com coeficientes constantes.
  • Para cada equação deve ser obtida a família geral de soluções (com constantes arbitrárias c_1,c_2,\dots).

Passo 2

Método geral (lembrança passo a passo e linguagem simples): para uma equação linear homogênea de ordem n com coeficientes constantes, substitui-se uma solução do tipo y=e^{r x}. Isso transforma a EDO numa equação polinomial em r (chamada equação característica). Os tipos de raízes da característica determinam a forma da solução geral:
  • Se r é raiz real simples (multiplicidade 1), a contribuição é e^{r x}.
  • Se r é raiz real de multiplicidade m, as contribuições são e^{r x}, x e^{r x}, x^{2}e^{r x},\dots,x^{m-1}e^{r x}.
  • Se aparecem raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta (multiplicidade 1), a contribuição é e^{\alpha x}\big(C\cos(\beta x)+D\sin(\beta x)\big).
  • Se \alpha\pm i\beta é raiz complexa com multiplicidade m, multiplica-se cada termo por polinômio em x de grau até m-1: (P_{m-1}(x))e^{\alpha x}\cos(\beta x)+(Q_{m-1}(x))e^{\alpha x}\sin(\beta x), onde P_{m-1},Q_{m-1} são polinômios de grau \le m-1 (em prática aparecem constantes e termos em x,\\ x^2,\dots).
Vou aplicar esse procedimento em cada equação, explicando cada passo de conta.

Passo 3

Equação: \,3y''+2y'+y=0\,.
  1. Formo a equação característica substituindo y=e^{r x}, y' = r e^{r x}, y''=r^{2}e^{r x}. Dividindo por e^{r x} (não zero) obtém-se:
3r^{2}+2r+1=0.
  1. Resolver a quadrática. Calcular o discriminante:
\Delta = (2)^{2}-4\cdot3\cdot1 = 4-12 = -8.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2\cdot3} = \frac{-2\pm i\sqrt{8}}{6}.
Simplificando \sqrt{8}=2\sqrt{2}:
r = -\frac{1}{3}\pm i\frac{\sqrt{2}}{3}.
  1. Para raízes complexas \alpha\pm i\beta a solução geral é
y=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big).
Aqui \alpha=-\dfrac{1}{3} e \beta=\dfrac{\sqrt{2}}{3}. Portanto a solução geral é
y=e^{-x/3}\big(C_{1}\cos\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\big)\big).

Passo 4

Equação: \,\dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}+\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}+\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0\,.
  1. Formo a característica usando y=e^{r x}:
r^{4}+r^{3}+r^{2}=0.
  1. Fatorar o polinômio:
r^{2}(r^{2}+r+1)=0.
Logo r=0 é raiz de multiplicidade 2 (porque fator r^{2}), e as outras raízes vêm de r^{2}+r+1=0.
  1. Resolver r^{2}+r+1=0. O discriminante é
\Delta =1^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3,
raízes complexas:
r = \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Estas são conjugadas com \alpha=-\dfrac{1}{2} e \beta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  1. Agora montar a solução geral combinando contribuições:
  • Para r=0 de multiplicidade 2: contribui com C_{1}\cdot e^{0\cdot x}=C_{1} e C_{2}x.
  • Para as raízes complexas simples \alpha\pm i\beta: contribuem com e^{\alpha x}\big(C_{3}\cos(\beta x)+C_{4}\sin(\beta x)\big), isto é e^{-x/2}\big(C_{3}\cos(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x)+C_{4}\sin(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x)\big).
  1. Juntando:
y=C_{1}+C_{2}x+e^{-x/2}\big(C_{3}\cos(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x)+C_{4}\sin(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x)\big).

Passo 5

Equação: \,16\dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}+24\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+9y=0\,.
  1. Formo a característica com y=e^{r x}:
16r^{4}+24r^{2}+9=0.
  1. Observação prática: essa equação depende apenas de r^{2}. Faço a substituição s=r^{2}. Assim
16s^{2}+24s+9=0.
  1. Resolver a quadrática em s. Calcular discrimante:
\Delta_s = 24^{2}-4\cdot16\cdot9 = 576-576=0.
Como \Delta_s=0, a raiz é dupla:
s = -\frac{24}{2\cdot16} = -\frac{24}{32} = -\frac{3}{4}.
  1. Voltar a r: r^{2}=s=-\dfrac{3}{4}. Então
r = \pm i\sqrt{\tfrac{3}{4}} = \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Cada um desses raízes complexas aparece com multiplicidade 2 porque s foi raiz dupla (portanto o par \alpha\pm i\beta é raiz dupla).
  1. Para um par de raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta com multiplicidade m=2, a contribuição para a solução geral é
\big(A+Bx\big)e^{\alpha x}\cos(\beta x)+\big(C+Dx\big)e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Aqui \alpha=0 (não há parte real) e \beta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Como \alpha=0, e^{\alpha x}=1. Assim a solução geral pode ser escrita como
y=(C_{1}+C_{3}x)\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+(C_{2}+C_{4}x)\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big).
  1. Reescrevendo em forma equivalente (agrupando termos):
y=C_{1}\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+x\big(C_{3}\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_{4}\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\big).

Resposta

y=e^{-x/3}\big(c_{1}\cos\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\big)+c_{2}\sin\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}x\big)\big)
y=c_{1}+c_{2}x+e^{-x/2}\big(c_{3}\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+c_{4}\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\big)
y=c_{1}\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+c_{2}\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+x\big(c_{3}\cos\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+c_{4}\sin\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\big)

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