Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o método dos operadores:
\left(D^{2}-3 D+2\right) y=2 \operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
\left(D^{2}-3D+2\right)y=2\sin 2x,
onde D é o operador diferencial D=\dfrac{d}{dx}. O que precisamos encontrar é a solução geral y(x) desta equação, ou seja a soma da solução da homogênea e de uma solução particular que satisfaça a parte direita 2\sin 2x.
Informações dadas:
  • Operador linear L(D)=D^{2}-3D+2.
  • Termo forçante (lado direito) é 2\sin 2x.
O objetivo:
  • Encontrar a solução geral y(x) usando o método dos operadores.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada:
\left(D^{2}-3D+2\right)y_h=0.
Explicando a ideia: para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y_h=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{2}-3r+2=0.
Resolvendo:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2)=0,
portanto r=1 e r=2. Como são raízes reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Breve comentário didático: cada raiz r do polinômio característico corresponde à solução exponencial e^{rx}. Se houvesse multiplicidade maior, multiplicaríamos por potências de x.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p tal que
\left(D^{2}-3D+2\right)y_p=2\sin 2x.
Explicando o método dos operadores (e a versão complexa, que é muito prática):
  • Para forçantes senóides como \sin ou \cos, é conveniente usar a representação complexa \sin 2x=\operatorname{Im}(e^{i2x}).
  • Se encontrarmos uma função complexa y_c(x) tal que
L(D)y_c=2e^{i2x},
então aplicando a parte imaginária obtemos L(D)(\operatorname{Im} y_c)=\operatorname{Im}(2e^{i2x})=2\sin 2x. Assim a parte imaginária de y_c é uma solução particular real da equação original.
  • Para funções da forma e^{ax}, o operador L(D) atua como multiplicação por L(a), isto é L(D)e^{ax}=L(a)e^{ax}. Logo podemos “inverter” L(D) sobre e^{ax} se L(a)\neq0, obtendo y_c=\dfrac{2}{L(a)}e^{ax}.
Importante sobre ressonância: se L(a)=0 (ou seja a é raiz do polinômio característico), o método precisa ser modificado: multiplicar por polinômios em x (isso acontece quando a frequência da forçante coincide com uma solução da homogênea). Aqui vamos verificar se há ressonância.

Passo 4

Aplicar a ideia com a=i2 (pois e^{i2x} gera \sin 2x). Calcular L(i2):
L(i2)=(i2)^{2}-3(i2)+2=-4-6i+2=-2-6i.
Verificação de ressonância: L(i2)=-2-6i\neq0. Portanto não há ressonância e podemos inverter o operador diretamente.
A solução complexa particular é
y_c=\frac{2}{L(i2)}e^{i2x}=\frac{2}{-2-6i}e^{i2x}.
Simplificamos a fração multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
\frac{2}{-2-6i}=\frac{2(-2+6i)}{(-2)^{2}+6^{2}}=\frac{-4+12i}{40}=\frac{-1+3i}{10}.
Portanto
y_c=\frac{-1+3i}{10}e^{i2x}.

Passo 5

Como a forçante é 2\sin 2x=\operatorname{Im}(2e^{i2x}), a solução particular real procurada é a parte imaginária de y_c:
y_p=\operatorname{Im}\!\left(\frac{-1+3i}{10}e^{i2x}\right).
Calcular explicitamente: escrevendo e^{i2x}=\cos 2x + i\sin 2x,
\frac{-1+3i}{10}(\cos 2x + i\sin 2x) =\frac{1}{10}\bigl[(-1+3i)(\cos 2x + i\sin 2x)\bigr].
Fazendo a multiplicação:
(-1+3i)(\cos 2x + i\sin 2x)=(-\cos 2x -3\sin 2x) + i(3\cos 2x - \sin 2x).
A parte imaginária é 3\cos 2x - \sin 2x. Logo
y_p=\frac{1}{10}\bigl(3\cos 2x - \sin 2x\bigr).

Passo 6

Portanto a solução particular obtida é
y_p=\frac{3}{10}\cos 2x-\frac{1}{10}\sin 2x.
Como checagem rápida (didática): se tivéssemos usado o método de coeficientes indeterminados, assumiríamos y_p=A\cos 2x+B\sin 2x\) e obteríamos o sistema \[\begin{cases} -2A-6B=0,\\[4pt] 6A-2B=2, \end{cases}
cuja solução dá A=\dfrac{3}{10}\], \(B=-\dfrac{1}{10}, o que coincide com o y_p acima.]

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+\frac{3}{10}\cos 2x-\frac{1}{10}\sin 2x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+\frac{3}{10}\cos 2x-\frac{1}{10}\sin 2x

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