Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o método dos operadores:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
onde
é o operador diferencial
. O que precisamos encontrar é a solução geral
desta equação, ou seja a soma da solução da homogênea e de uma solução particular que satisfaça a parte direita
.
Informações dadas:
- Operador linear
. - Termo forçante (lado direito) é
.
O objetivo:
- Encontrar a solução geral
usando o método dos operadores.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada:
Explicando a ideia: para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos o polinômio característico
Resolvendo:
portanto
e
. Como são raízes reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Breve comentário didático: cada raiz
do polinômio característico corresponde à solução exponencial
. Se houvesse multiplicidade maior, multiplicaríamos por potências de
.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
tal que
Explicando o método dos operadores (e a versão complexa, que é muito prática):
- Para forçantes senóides como
ou , é conveniente usar a representação complexa . - Se encontrarmos uma função complexa
tal que
então aplicando a parte imaginária obtemos
. Assim a parte imaginária de
é uma solução particular real da equação original.
- Para funções da forma
, o operador atua como multiplicação por , isto é . Logo podemos “inverter” sobre se , obtendo .
Importante sobre ressonância: se
(ou seja
é raiz do polinômio característico), o método precisa ser modificado: multiplicar por polinômios em
(isso acontece quando a frequência da forçante coincide com uma solução da homogênea). Aqui vamos verificar se há ressonância.
Passo 4
Aplicar a ideia com
(pois
gera
). Calcular
:
Verificação de ressonância:
. Portanto não há ressonância e podemos inverter o operador diretamente.
A solução complexa particular é
Simplificamos a fração multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Portanto
Passo 5
Como a forçante é
, a solução particular real procurada é a parte imaginária de
:
Calcular explicitamente: escrevendo
,
Fazendo a multiplicação:
A parte imaginária é
. Logo
Passo 6
Portanto a solução particular obtida é
Como checagem rápida (didática): se tivéssemos usado o método de coeficientes indeterminados, assumiríamos
cuja solução dá
, o que coincide com o
acima.]
Passo 7
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.