Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o método dos operadores:
(D-1)^{2}(D-2) y=3 e^{x}+2 e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear com coeficientes constantes
(D-1)^{2}(D-2)\,y = 3e^{x} + 2e^{-x}.
Informações dadas e objetivo:
  • O operador diferencial é L=(D-1)^{2}(D-2).
  • O lado direito é a soma de duas funções exponenciais: 3e^{x} e 2e^{-x}.
  • O que se pede: encontrar a solução geral y(x) da equação (solução complementar + solução particular).

Passo 2

O que é D e como vamos proceder (explicação didática curta e calma).
  • Aqui D significa derivada em relação a x: para qualquer função y, D y = y', D^2 y = y'', etc.
  • A equação tem a forma L y = f(x) com L polinomial em D. O método dos operadores consiste em:
    1. Resolver a equação homogênea L y=0 (achar a solução complementar y_h usando as raízes do polinômio característico).
    2. Encontrar uma solução particular y_p para L y=f usando o método dos coeficientes a determinar (tratando o caso de ressonância quando a parte do RHS coincide com exponenciais correspondentes a raízes de L).
  • Primeiro faço a homogênea.

Passo 3

Resolver a homogênea (D-1)^{2}(D-2)\,y=0.
  • Escrevo o polinômio característico substituindo D por r: (r-1)^{2}(r-2)=0.
  • As raízes são r=1 com multiplicidade 2 e r=2 com multiplicidade 1.
  • Regra: se r=a é raiz de multiplicidade m, as soluções associadas são e^{ax}, x e^{ax}, \dots, x^{m-1} e^{ax}.
  • Logo a solução complementar é y_{h}(x) = \big(C_{1} + C_{2}x\big)e^{x} + C_{3} e^{2x},onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Escolha da forma da solução particular y_p (regra da multiplicidade / ressonância).
  • O lado direito é f(x)=3e^{x}+2e^{-x}.
  • Para termos do tipo P(x)e^{\alpha x} (aqui P é polinômio constante), se \alpha é raiz do polinômio característico com multiplicidade s, então multiplicamos o palpite por x^{s}.
  • Para 3e^{x}: \alpha=1 é raiz de multiplicidade 2, então multiplicidade s=2. Como o polinômio multiplicador é constante (grau 0), o palpite é y_{p1}(x) = A x^{2} e^{x},com constante A a determinar.
  • Para 2e^{-x}: \alpha=-1 NÃO é raiz do polinômio característico, então s=0 e o palpite é y_{p2}(x) = B e^{-x},com constante B a determinar.
  • Assim o palpite total é y_{p}(x)=A x^{2} e^{x} + B e^{-x}.

Passo 5

Calcular L[y_{p1}]= (D-1)^{2}(D-2)\big[A x^{2} e^{x}\big] para determinar A. (Uso uma propriedade muito útil do operador.)
  • Propriedade: para qualquer função u(x), (D-1)\big[e^{x}u(x)\big] = e^{x} D u(x).Aplicando duas vezes, (D-1)^{2}\big[e^{x}u\big] = e^{x} D^{2}u.Depois aplicar (D-2) sobre e^{x}v usa a fórmula geral (D-b)[e^{ax}v]=e^{ax}(D+a-b)v. Com a=1,b=2 obtemos (D-2)[e^{x}v]=e^{x}(D-1)v.
  • Combinando: (D-1)^{2}(D-2)\big[e^{x}u\big] = (D-2)\big[e^{x} D^{2}u\big] = e^{x}(D-1)D^{2}u = e^{x}\big(D^{3}u - D^{2}u\big).
  • Agora tomo u(x)=A x^{2}. Calculo derivadas: D u = 2A x,\qquad D^{2}u = 2A,\qquad D^{3}u = 0.
  • Substituindo em e^{x}(D^{3}u - D^{2}u): (D-1)^{2}(D-2)\big[A x^{2} e^{x}\big] = e^{x}\big(0 - 2A\big) = -2A\,e^{x}.
  • Esse termo deve reproduzir a parte 3e^{x} do RHS, logo -2A\,e^{x} = 3e^{x}\quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Calcular L[y_{p2}]=(D-1)^{2}(D-2)\big[B e^{-x}\big] para determinar B (propriedade do polinômio avaliado na raiz).
  • Para exponenciais puras vale a fórmula simples: se y=e^{\alpha x} então p(D)[e^{\alpha x}] = p(\alpha) e^{\alpha x}, onde p(r) é o polinômio associado ao operador.
  • Aqui p(r)=(r-1)^{2}(r-2). Para \alpha=-1: p(-1)=(-1-1)^{2}(-1-2)=(-2)^{2}(-3)=4\cdot(-3)=-12.
  • Portanto (D-1)^{2}(D-2)\big[B e^{-x}\big] = -12 B\, e^{-x}.
  • Esse termo deve ser igual a 2e^{-x}, então -12 B\, e^{-x} = 2 e^{-x}\quad\Rightarrow\quad B = -\tfrac{1}{6}.

Passo 7

Escrever a solução particular e a solução geral.
  • Encontramos A=-\tfrac{3}{2} e B=-\tfrac{1}{6}, então y_{p}(x) = -\tfrac{3}{2} x^{2} e^{x} - \tfrac{1}{6} e^{-x}.
  • A solução geral é soma da complementar com a particular: y(x) = \big(C_{1} + C_{2}x\big)e^{x} + C_{3} e^{2x} - \tfrac{3}{2} x^{2} e^{x} - \tfrac{1}{6} e^{-x}.

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x}+C_{3}e^{2x}-\dfrac{3}{2}x^{2}e^{x}-\dfrac{1}{6}e^{-x}

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