Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o método dos operadores:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear com coeficientes constantes
Informações dadas e objetivo:
- O operador diferencial é
. - O lado direito é a soma de duas funções exponenciais:
e . - O que se pede: encontrar a solução geral
da equação (solução complementar + solução particular).
Passo 2
O que é
e como vamos proceder (explicação didática curta e calma).
- Aqui
significa derivada em relação a : para qualquer função , , , etc. - A equação tem a forma
com polinomial em . O método dos operadores consiste em: - Resolver a equação homogênea
(achar a solução complementar usando as raízes do polinômio característico). - Encontrar uma solução particular
para usando o método dos coeficientes a determinar (tratando o caso de ressonância quando a parte do RHS coincide com exponenciais correspondentes a raízes de ).
- Resolver a equação homogênea
- Primeiro faço a homogênea.
Passo 3
Resolver a homogênea
.
- Escrevo o polinômio característico substituindo
por : - As raízes são
com multiplicidade e com multiplicidade . - Regra: se
é raiz de multiplicidade , as soluções associadas são . - Logo a solução complementar é
onde são constantes arbitrárias.
Passo 4
Escolha da forma da solução particular
(regra da multiplicidade / ressonância).
- O lado direito é
. - Para termos do tipo
(aqui é polinômio constante), se é raiz do polinômio característico com multiplicidade , então multiplicamos o palpite por . - Para
: é raiz de multiplicidade , então multiplicidade . Como o polinômio multiplicador é constante (grau ), o palpite é com constante a determinar. - Para
: NÃO é raiz do polinômio característico, então e o palpite é com constante a determinar. - Assim o palpite total é
Passo 5
Calcular
para determinar
. (Uso uma propriedade muito útil do operador.)
- Propriedade: para qualquer função
, Aplicando duas vezes, Depois aplicar sobre usa a fórmula geral . Com obtemos . - Combinando:
- Agora tomo
. Calculo derivadas: - Substituindo em
: - Esse termo deve reproduzir a parte
do RHS, logo
Passo 6
Calcular
para determinar
(propriedade do polinômio avaliado na raiz).
- Para exponenciais puras vale a fórmula simples: se
então , onde é o polinômio associado ao operador. - Aqui
. Para : - Portanto
- Esse termo deve ser igual a
, então
Passo 7
Escrever a solução particular e a solução geral.
- Encontramos
e , então - A solução geral é soma da complementar com a particular: