Encontre a solução geral para cada uma das seguintes equações diferenciais ordinárias de 2{ }^{\text {a }} ordem não homogêneas, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}+4 y=x \cos (2 x) y(x)= C_{1} \cos (2 x)+C_{2} \sin (2 x)+ \frac{1}{16} x \cos (2 x)+\frac{1}{8} x^{2} \sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária de 2ª ordem não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação dada é
y''+4y = x\cos(2x).
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação é linear, de coeficientes constantes, de 2ª ordem.
  • O termo não homogêneo (forçamento) é x\cos(2x), um polinômio de grau 1 multiplicado por \cos(2x).
  • Não há mais informações adicionais; queremos a solução geral y(x), que será a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y_h''+4y_h=0.
Para isso montamos a equação característica. Substituímos y_h=e^{rx}, então
r^{2}+4=0.
As raízes são r=\pm 2i. Quando temos raízes complexas conjugadas \pm i\omega (aqui \omega=2), a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicação rápida: as soluções básicas são \cos(2x) e \sin(2x) porque e^{\pm 2ix}=\cos(2x)\pm i\sin(2x).)

Passo 3

Explicação didática do método dos coeficientes indeterminados e do caso de ressonância:
  • O método dos coeficientes indeterminados consiste em supor uma forma para a solução particular y_p(x) com constantes desconhecidas e ajustar essas constantes impondo que y_p satisfaça a equação.
  • Quando o termo não homogêneo tem a forma P_m(x)e^{\alpha x}\cos(\beta x) ou P_m(x)e^{\alpha x}\sin(\beta x), onde P_m é um polinômio de grau m, a ansatz padrão é um polinômio de grau m em x multiplicando \cos(\beta x) e outro polinômio de grau m multiplicando \sin(\beta x).
  • Se \alpha+i\beta (ou \alpha-i\beta) é raiz da equação característica de multiplicidade s\ge1, então devemos multiplicar a ansatz por x^{s} (isso é a “ressonância”): caso contrário a ansatz pode conter termos já presentes na solução homogênea.
    No nosso problema \alpha=0, \beta=2 e 0+2i é raiz simples da característica (multiplicidade s=1), então temos ressonância de ordem 1. O polinômio P_m(x) tem grau m=1 (porque o forçamento é x\cos(2x)). Logo devemos multiplicar a ansatz padrão por x^{1}.

Passo 4

Construção da ansatz (palpite) para y_p:
  • Sem ressonância a ansatz seria (a_1 x + a_0)\cos(2x) + (b_1 x + b_0)\sin(2x).
  • Pela ressonância de ordem s=1, multiplicamos tudo por x. Assim escolhemos
y_p(x) = \big(Ax^{2}+Bx\big)\cos(2x) + \big(Cx^{2}+Dx\big)\sin(2x),
onde A,B,C,D são coeficientes desconhecidos a determinar. (Observação: esta forma já evita que existam termos simples \cos(2x) ou \sin(2x) sem fator x, garantindo independência da solução homogênea.)

Passo 5

Calcular y_p'. Usamos regra do produto e \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x), \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x).
Defina P(x)=Ax^{2}+Bx e Q(x)=Cx^{2}+Dx. Então
y_p = P(x)\cos(2x)+Q(x)\sin(2x).
Derivando:
y_p' = P'(x)\cos(2x) + P(x)\big(-2\sin(2x)\big) + Q'(x)\sin(2x) + Q(x)\big(2\cos(2x)\big).
Calcule P'(x)=2Ax+B e Q'(x)=2Cx+D. Agrupando termos em \cos(2x) e \sin(2x):
y_p' = \big(2Cx^{2} + (2A+2D)x + B\big)\cos(2x) + \big(-2Ax^{2} + (2C-2B)x + D\big)\sin(2x).
(Expliquei: multipliquei e juntei coeficientes de \cos(2x) e \sin(2x).)

Passo 6

Calcular y_p''. Derivamos a expressão anterior; seja
U(x)=2Cx^{2} + (2A+2D)x + B,\qquad V(x)=-2Ax^{2} + (2C-2B)x + D.
Então, usando novamente regras e as derivadas das funções trigonométricas:
y_p'' = U'(x)\cos(2x) + U(x)\big(-2\sin(2x)\big) + V'(x)\sin(2x) + V(x)\big(2\cos(2x)\big).
Agrupando, obtemos a forma compacta
y_p'' = \big(U'(x)+2V(x)\big)\cos(2x) + \big(V'(x)-2U(x)\big)\sin(2x).
Agora calculamos U'(x) e V'(x):
U'(x)=4Cx + (2A+2D),\qquad V'(x)=-4Ax + (2C-2B).
Substituindo e simplificando os polinômios (organizamos por potências de x), chegamos a
y_p'' = \big(-4A x^{2} + (8C-4B) x + (2A+4D)\big)\cos(2x)
\qquad\qquad + \big(-4C x^{2} + (-8A-4D) x + (2C-4B)\big)\sin(2x).

Passo 7

Somar 4y_p e simplificar y_p''+4y_p. Calculamos
4y_p = (4A x^{2}+4B x)\cos(2x) + (4C x^{2}+4D x)\sin(2x).
Somando com y_p'' os termos em x^{2} se cancelam (projeto bem escolhido), e obtemos
y_p''+4y_p = \big(8C x + (2A+4D)\big)\cos(2x) + \big(-8A x + (2C-4B)\big)\sin(2x).

Passo 8

Impor que y_p''+4y_p = x\cos(2x). O lado direito é x\cos(2x) + 0\cdot\sin(2x). Igualando coeficientes polinomiais de \cos(2x) e \sin(2x) obtemos um sistema para A,B,C,D:
  • Coeficiente de x na parte \cos(2x): 8C = 1.
  • Termo constante na parte \cos(2x): 2A + 4D = 0.
  • Coeficiente de x na parte \sin(2x): -8A = 0.
  • Termo constante na parte \sin(2x): 2C - 4B = 0.

Passo 9

Resolver o sistema:
  • De -8A=0 vem A=0.
  • De 8C=1 vem C=\dfrac{1}{8}.
  • De 2C-4B=0 vem 4B=2C, então B=\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{16}.
  • De 2A+4D=0 com A=0 vem 4D=0, então D=0.
Portanto os coeficientes são
A=0,\quad B=\tfrac{1}{16},\quad C=\tfrac{1}{8},\quad D=0.

Passo 10

Escrever a solução particular com esses coeficientes:
y_p(x) = \big(0\cdot x^{2} + \tfrac{1}{16}x\big)\cos(2x) + \big(\tfrac{1}{8}x^{2} + 0\cdot x\big)\sin(2x),
ou seja
y_p(x)=\tfrac{1}{16}x\cos(2x)+\tfrac{1}{8}x^{2}\sin(2x).

Passo 11

Escrever a solução geral como soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+\tfrac{1}{16}x\cos(2x)+\tfrac{1}{8}x^{2}\sin(2x).
Sugestão amiga: se tiver tempo, vale verificar derivando essa y(x) e conferindo que satisfaz a equação; os cálculos que fizemos foram justamente para garantir isso. Você conseguiu — respirou, aplicou a ideia da ressonância e resolveu o sistema linear dos coeficientes!

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+\dfrac{1}{16}x\cos(2x)+\dfrac{1}{8}x^{2}\sin(2x)

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