Encontre a solução geral para cada uma das seguintes equações diferenciais ordinárias de
ordem não homogêneas, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária de 2ª ordem não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação dada é
Informações relevantes do enunciado:
- A equação é linear, de coeficientes constantes, de 2ª ordem.
- O termo não homogêneo (forçamento) é
, um polinômio de grau 1 multiplicado por . - Não há mais informações adicionais; queremos a solução geral
, que será a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Para isso montamos a equação característica. Substituímos
, então
As raízes são
. Quando temos raízes complexas conjugadas
(aqui
), a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Explicação rápida: as soluções básicas são
e
porque
.)
Passo 3
Explicação didática do método dos coeficientes indeterminados e do caso de ressonância:
- O método dos coeficientes indeterminados consiste em supor uma forma para a solução particular
com constantes desconhecidas e ajustar essas constantes impondo que satisfaça a equação. - Quando o termo não homogêneo tem a forma
ou , onde é um polinômio de grau , a ansatz padrão é um polinômio de grau em multiplicando e outro polinômio de grau multiplicando . - Se
(ou ) é raiz da equação característica de multiplicidade , então devemos multiplicar a ansatz por (isso é a “ressonância”): caso contrário a ansatz pode conter termos já presentes na solução homogênea.
No nosso problema, e é raiz simples da característica (multiplicidade ), então temos ressonância de ordem 1. O polinômio tem grau (porque o forçamento é ). Logo devemos multiplicar a ansatz padrão por .
Passo 4
Construção da ansatz (palpite) para
:
- Sem ressonância a ansatz seria
. - Pela ressonância de ordem
, multiplicamos tudo por . Assim escolhemos
onde
são coeficientes desconhecidos a determinar. (Observação: esta forma já evita que existam termos simples
ou
sem fator
, garantindo independência da solução homogênea.)
Passo 5
Calcular
. Usamos regra do produto e
,
.
Defina e
. Então
Defina
Derivando:
Calcule
e
. Agrupando termos em
e
:
(Expliquei: multipliquei e juntei coeficientes de
e
.)
Passo 6
Calcular
. Derivamos a expressão anterior; seja
Então, usando novamente regras e as derivadas das funções trigonométricas:
Agrupando, obtemos a forma compacta
Agora calculamos
e
:
Substituindo e simplificando os polinômios (organizamos por potências de
), chegamos a
Passo 7
Somar
e simplificar
. Calculamos
Somando com
os termos em
se cancelam (projeto bem escolhido), e obtemos
Passo 8
Impor que
. O lado direito é
. Igualando coeficientes polinomiais de
e
obtemos um sistema para
:
- Coeficiente de
na parte : . - Termo constante na parte
: . - Coeficiente de
na parte : . - Termo constante na parte
: .
Passo 9
Resolver o sistema:
- De
vem . - De
vem . - De
vem , então . - De
com vem , então .
Portanto os coeficientes são
Passo 10
Escrever a solução particular com esses coeficientes:
ou seja
Passo 11
Escrever a solução geral como soma da homogênea com a particular:
Sugestão amiga: se tiver tempo, vale verificar derivando essa
e conferindo que satisfaz a equação; os cálculos que fizemos foram justamente para garantir isso. Você conseguiu — respirou, aplicou a ideia da ressonância e resolveu o sistema linear dos coeficientes!