Determine as soluções das equações diferenciais exatas:
\left(y e^{x y}+y^{2}\right) d x+\left(x e^{x y}+2 x y\right) d y=0 e^{x y}+x y^{2}=C

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial
\left(y e^{x y}+y^{2}\right)\,dx+\left(x e^{x y}+2 x y\right)\,dy=0.
Informações dadas que vamos usar:
M(x,y)=y e^{xy}+y^{2}\quad\text{e}\quad N(x,y)=x e^{xy}+2xy.
A pergunta é: encontrar a solução geral implícita (a família de curvas) que satisfaça essa equação diferencial.

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo): uma equação da forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é chamada de exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial\Phi}{\partial y}=N(x,y).
Critério prático para testar exatidão: se M e N têm derivadas parciais contínuas num domínio, então a condição necessária e suficiente é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se for exata, podemos encontrar \Phi integrando M em relação a x (tratando y como constante) e ajustando com uma função ``constante’’ que depende só de y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais para testar exatidão, mostrando cada passo de diferenciação:
Derivando M(x,y)=y e^{xy}+y^{2} em relação a y (usar regra do produto em y e^{xy}):
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{xy}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\big) = \big(1\cdot e^{xy} + y\cdot (x e^{xy})\big) + 2y = e^{xy}+x y e^{xy}+2y.
Derivando N(x,y)=x e^{xy}+2xy em relação a x (idem: regra do produto em x e^{xy}):
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{xy}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(2xy\big) = \big(1\cdot e^{xy} + x\cdot (y e^{xy})\big) + 2y = e^{xy}+x y e^{xy}+2y.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata.

Passo 4

Encontrar a função potencial \Phi(x,y). Começamos integrando M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
Integramos termo a termo:
  • Para \int y e^{xy}\,dx: fazer a substituição u=xy. Então du = y\,dx, logo \int y e^{xy}\,dx=\int e^{u}\,du=e^{u}=e^{xy}.
  • Para \int y^{2}\,dx: como y é constante, \int y^{2}\,dx = x y^{2}.
    Portanto, a integração dá
\Phi(x,y)=e^{xy}+x y^{2}+h(y),
onde h(y) é uma ``constante de integração’’ que pode depender de y (pois integramos em x).

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \Phi_{y}=N. Calculamos \Phi_{y}:
\frac{\partial\Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{xy}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}\big)+h'(y) = x e^{xy} + 2x y + h'(y).
Igualando a \Phi_{y} com N(x,y)=x e^{xy}+2xy obtemos
x e^{xy} + 2x y + h'(y) = x e^{xy} + 2x y.
Daí h'(y)=0, logo h(y)=\text{constante}. Podemos absorver essa constante em uma constante geral C.

Passo 6

Ter concluído que a função potencial (até constante) é
\Phi(x,y)=e^{xy}+x y^{2}.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por
\Phi(x,y)=C,
ou seja
e^{xy}+x y^{2}=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

e^{xy}+x y^{2}=C

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