Determine as soluções das equações diferenciais exatas:
Passo 1
O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial
Informações dadas que vamos usar:
A pergunta é: encontrar a solução geral implícita (a família de curvas) que satisfaça essa equação diferencial.
Passo 2
Conceito-chave (explicado passo a passo): uma equação da forma
é chamada de exata se existe uma função potencial
tal que
Critério prático para testar exatidão: se
e
têm derivadas parciais contínuas num domínio, então a condição necessária e suficiente é
Se for exata, podemos encontrar
integrando
em relação a
(tratando
como constante) e ajustando com uma função ``constante’’ que depende só de
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais para testar exatidão, mostrando cada passo de diferenciação:
Derivando em relação a
(usar regra do produto em
):
Derivando
Derivando
em relação a
(idem: regra do produto em
):
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Encontrar a função potencial
. Começamos integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Integramos termo a termo:
Integramos termo a termo:
- Para
: fazer a substituição . Então , logo . - Para
: como é constante, .
Portanto, a integração dá
onde
é uma ``constante de integração’’ que pode depender de
(pois integramos em
).
Passo 5
Determinar
usando a condição
. Calculamos
:
Igualando a
com
obtemos
Daí
, logo
. Podemos absorver essa constante em uma constante geral
.
Passo 6
Ter concluído que a função potencial (até constante) é
A solução geral implícita da equação diferencial exata é dada por
ou seja
onde
é constante arbitrária.