Encontre a solução geral para cada uma das seguintes equações diferenciais ordinárias de 2{ }^{\text {a }} ordem não homogêneas, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=2 e^{3 x} y(x)= e^{-x}\left(C_{1} \cos (2 x)+C_{2} \sin (2 x)\right)+\frac{1}{10} e^{3 x}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y''+2y'+5y=2e^{3x},
e pede a solução geral y(x). Não há condições iniciais dadas. Informação relevante: termos da equação (coeficientes constantes) e o termo não homogêneo 2e^{3x}. A solução geral será a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Encontrar a solução da equação homogênea associada:
y''+2y'+5y=0.
Para isso, montamos a equação característica, substituindo y=e^{rx}:
r^{2}+2r+5=0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas. Calculamos as raízes:
r=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i.
Quando a equação característica tem raízes \alpha\pm \beta i (com \alpha e \beta reais), a solução geral da homogênea é
y_{c}(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aplicando \alpha=-1 e \beta=2 obtemos
y_{c}(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big).

Passo 3

Determinar uma solução particular y_{p} para a não homogeneidade 2e^{3x} usando o método dos coeficientes indeterminados. Regras práticas: se o termo não homogêneo é P(x)e^{\lambda x} com P polinômio, tenta-se x^{s}Q(x)e^{\lambda x} onde s é a multiplicidade de \lambda como raiz da característica e Q tem grau igual ao de P. Aqui o termo é 2e^{3x} (polinômio constante, grau 0) e \lambda=3. Como 3 não é raiz da equação característica (as raízes são -1\pm 2i), a multiplicidade s=0. Assim propomos
y_{p}(x)=A e^{3x},
onde A é uma constante indeterminada.
Calculamos as derivadas necessárias:
y_{p}'(x)=3A e^{3x},\qquad y_{p}''(x)=9A e^{3x}.
Substituímos na equação diferencial:
y_{p}''+2y_{p}'+5y_{p}=(9A+2\cdot 3A+5A)e^{3x}=(9A+6A+5A)e^{3x}=20A e^{3x}.
Devemos ter isso igual ao membro não homogêneo 2e^{3x}, então
20A e^{3x}=2e^{3x}\quad\Rightarrow\quad 20A=2.
Logo
A=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}.
Portanto
y_{p}(x)=\frac{1}{10}e^{3x}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução complementar e da solução particular:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big)+\frac{1}{10}e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Se quiser, dá para checar rapidamente substituindo esta solução na equação original: o termo exponencial e^{3x} gera 20\cdot\frac{1}{10}e^{3x}=2e^{3x} (o que confirma o particular) e a parte com e^{-x}(\cos,\,\sin) satisfaz a homogênea (pela construção via raízes complexas).

Resposta

y(x)=e^{-x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big)+\frac{1}{10}e^{3x}

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