Encontre a solução geral para cada uma das seguintes equações diferenciais ordinárias de
ordem não homogêneas, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
e pede a solução geral
. Não há condições iniciais dadas. Informação relevante: termos da equação (coeficientes constantes) e o termo não homogêneo
. A solução geral será a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Encontrar a solução da equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica, substituindo
:
Calculamos o discriminante:
Como
, as raízes são complexas. Calculamos as raízes:
Quando a equação característica tem raízes
(com
e
reais), a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Aplicando
e
obtemos
Passo 3
Determinar uma solução particular
para a não homogeneidade
usando o método dos coeficientes indeterminados. Regras práticas: se o termo não homogêneo é
com
polinômio, tenta-se
onde
é a multiplicidade de
como raiz da característica e
tem grau igual ao de
. Aqui o termo é
(polinômio constante, grau
) e
. Como
não é raiz da equação característica (as raízes são
), a multiplicidade
. Assim propomos
onde
é uma constante indeterminada.
Calculamos as derivadas necessárias:
Substituímos na equação diferencial:
Devemos ter isso igual ao membro não homogêneo
, então
Logo
Portanto
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução complementar e da solução particular:
onde
e
são constantes arbitrárias. Se quiser, dá para checar rapidamente substituindo esta solução na equação original: o termo exponencial
gera
(o que confirma o particular) e a parte com
satisfaz a homogênea (pela construção via raízes complexas).