Breve explicação intuitiva: cada autovalor \lambda gera uma solução do tipo e^{\lambda t}v se existir vetor não nulo v com Av=\lambda v. Se conseguirmos duas direções independentes assim, a combinação linear delas dá a solução geral.]
Passo 3
Agora determinamos um autovetor associado a \lambda_1=-3. Resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0, isto é (A+3I)v=0.
A equação \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix} dá v_1+v_2=0, ou seja v_2=-v_1. Podemos escolher v_1=1, obtendo o autovetor
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Cheque rápido: A v^{(1)}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]3\end{pmatrix}=-3\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}, confirmado.]
Passo 4
Agora o autovetor associado a \lambda_2=-1. Resolvemos (A-\lambda_2 I)v=0, isto é (A+I)v=0.
A equação \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix} dá -v_1+v_2=0, ou seja v_2=v_1. Escolhendo v_1=1 obtemos
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Cheque: A v^{(2)}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, confirmado.]
Passo 5
As duas direções v^{(1)} e v^{(2)} são linearmente independentes (não múltiplos uma da outra). Isso significa que a matriz A é diagonalizável e que as funções e^{-3t}v^{(1)} e e^{-t}v^{(2)} são soluções independentes do sistema. A solução geral é, portanto, combinação linear delas:
onde C_1 e C_2 são constantes reais determinadas por condições iniciais (se houver).
Explicação rápida por que isso funciona: se Av=\lambda v, então diferenciando X(t)=e^{\lambda t}v obtém-se X'(t)=\lambda e^{\lambda t}v=e^{\lambda t}Av=A X(t), logo é solução. A combinação linear de soluções também é solução por linearidade do operador diferencial.]
Passo 6
Como ajudinha prática para a prova: outra forma direta (às vezes mais rápida em 2×2) é tomar combinações u=x_1+x_2 e w=x_1-x_2. Substituindo no sistema original obtém-se dois ODEs simples desacoplados:
Para u=x_1+x_2 encontra-se u'=-u (solução u=C_2 e^{-t}).
Para w=x_1-x_2 encontra-se w'=-3w (solução w=C_1 e^{-3t}).
Reconstruindo x_1 e x_2 a partir de u e w volta-se à forma da solução geral que já escrevemos. Essa técnica de escolher combinações simétricas é muito útil quando a matriz tem entradas simétricas como aqui.