Tranforme a equação diferencial dada num sistema de equações de primeira ordem:
y^{\prime \prime \prime}+\cos (y)=e^{t}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: transformar a equação diferencial de ordem superior em um sistema de equações de primeira ordem.
  • A equação dada é y^{\prime\prime\prime}+\cos(y)=e^{t}.
  • Informação relevante: aparece y e suas derivadas até a terceira ordem; há um termo não linear \cos(y) e um termo dependente de t, e^{t}.
  • Resultado esperado: um sistema equivalente formado só por equações de primeira ordem, normalmente introduzindo novas variáveis que representem y e suas derivadas.

Passo 2

Ideia geral do método (explicação didática):
  • Sempre que temos uma equação diferencial de ordem n, podemos transformá‑la num sistema de n equações de primeira ordem definindo novas variáveis que representem y e cada uma das suas derivadas até a ordem n-1.
  • Por que isso funciona? Porque conhecer y, y', …, y^{(n-1)} em um instante t permite calcular as derivadas desses componentes (ou seja, as próximas componentes do sistema). A equação original fornece a expressão para a derivada de ordem n.
  • Benefício prático: muitos métodos teóricos e numéricos (e.g. métodos de integração numérica) operam naturalmente em sistemas de primeira ordem.
  • Observação sobre não linearidade e dependência em t: se a equação original contém \cos(y) (não linear) ou e^{t} (dependência explícita em t), o sistema resultante será não linear e não autônomo (isto é, terá dependência explícita em t).

Passo 3

Escolha das variáveis de estado:
  • Definimos três novas variáveis para representar y e suas duas primeiras derivadas:
x_{1}(t)=y(t),\qquad x_{2}(t)=y'(t),\qquad x_{3}(t)=y''(t).
  • Explicando: x_{1} guarda o valor da função; x_{2} guarda a velocidade (primeira derivada); x_{3} guarda a aceleração (segunda derivada). Agora vamos escrever equações para x_1',x_2',x_3'.

Passo 4

Encontrar as equações do sistema (derivando as definições e usando a equação original):
  • Derivando cada definição:
x_{1}'(t)=y'(t)=x_{2}(t).
x_{2}'(t)=y''(t)=x_{3}(t).
x_{3}'(t)=y^{\prime\prime\prime}(t).
  • Usamos a equação original para substituir y^{\prime\prime\prime}:
y^{\prime\prime\prime}(t)=e^{t}-\cos\bigl(y(t)\bigr).
  • Como y(t)=x_{1}(t), obtemos
x_{3}'(t)=e^{t}-\cos\bigl(x_{1}(t)\bigr).

Passo 5

Escrever o sistema completo e comentar formato final:
  • Juntando as três equações, o sistema de primeira ordem equivalente é
\begin{cases} x_{1}'(t)=x_{2}(t),\\[4pt] x_{2}'(t)=x_{3}(t),\\[4pt] x_{3}'(t)=e^{t}-\cos\bigl(x_{1}(t)\bigr). \end{cases}
  • Comentário didático final: este sistema é não linear (por causa de \cos(x_{1})) e não autônomo (porque aparece e^{t}). Se forem dadas condições iniciais \;y(t_{0})=y_{0},\;y'(t_{0})=y_{0}',\;y''(t_{0})=y_{0}'', elas se traduzem diretamente em \;x_{1}(t_{0})=y_{0},\;x_{2}(t_{0})=y_{0}',\;x_{3}(t_{0})=y_{0}'', o que é exatamente o que se usa para resolver (analiticamente raramente possível) ou numericamente o sistema.]

Resposta

\begin{cases} x_{1}'(t)=x_{2}(t),\\[4pt] x_{2}'(t)=x_{3}(t),\\[4pt] x_{3}'(t)=e^{t}-\cos\bigl(x_{1}(t)\bigr). \end{cases}

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