Tranforme a equação diferencial dada num sistema de equações de primeira ordem:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: transformar a equação diferencial de ordem superior em um sistema de equações de primeira ordem.
- A equação dada é
- Informação relevante: aparece
e suas derivadas até a terceira ordem; há um termo não linear e um termo dependente de , . - Resultado esperado: um sistema equivalente formado só por equações de primeira ordem, normalmente introduzindo novas variáveis que representem
e suas derivadas.
Passo 2
Ideia geral do método (explicação didática):
- Sempre que temos uma equação diferencial de ordem
, podemos transformá‑la num sistema de equações de primeira ordem definindo novas variáveis que representem e cada uma das suas derivadas até a ordem . - Por que isso funciona? Porque conhecer
, , …, em um instante permite calcular as derivadas desses componentes (ou seja, as próximas componentes do sistema). A equação original fornece a expressão para a derivada de ordem . - Benefício prático: muitos métodos teóricos e numéricos (e.g. métodos de integração numérica) operam naturalmente em sistemas de primeira ordem.
- Observação sobre não linearidade e dependência em
: se a equação original contém (não linear) ou (dependência explícita em ), o sistema resultante será não linear e não autônomo (isto é, terá dependência explícita em ).
Passo 3
Escolha das variáveis de estado:
- Definimos três novas variáveis para representar
e suas duas primeiras derivadas:
- Explicando:
guarda o valor da função; guarda a velocidade (primeira derivada); guarda a aceleração (segunda derivada). Agora vamos escrever equações para .
Passo 4
Encontrar as equações do sistema (derivando as definições e usando a equação original):
- Derivando cada definição:
- Usamos a equação original para substituir
:
- Como
, obtemos
Passo 5
Escrever o sistema completo e comentar formato final:
- Juntando as três equações, o sistema de primeira ordem equivalente é
- Comentário didático final: este sistema é não linear (por causa de
) e não autônomo (porque aparece ). Se forem dadas condições iniciais , elas se traduzem diretamente em , o que é exatamente o que se usa para resolver (analiticamente raramente possível) ou numericamente o sistema.]