Encontre a solução geral das EDLN-H dadas abaixo, usando o Método Variação de Parâmetros.
y^{\prime \prime}-y=e^{2 t}
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y''-y=e^{2t}
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar o método de variação de parâmetros: primeiro encontramos a solução geral da parte homogênea e em seguida uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é
y''-y=0.
A equação característica é
r^2-1=0
cuja solução é r=\pm1. Logo duas soluções independentes são
y_1(t)=e^t, \quad y_2(t)=e^{-t},
e a solução geral homogênea é
y_h(t)=C_1e^t + C_2e^{-t}.

Passo 3

Para a variação de parâmetros supomos
y_p(t)=u_1(t)e^t + u_2(t)e^{-t}
com as condições auxiliares
u_1'e^t + u_2'e^{-t}=0, \quad u_1'e^t - u_2'e^{-t}=e^{2t}.
O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix}e^t & e^{-t}\\\ e^t & -e^{-t}\end{vmatrix} = -2.
Resolvendos para u_1' e u_2'
u_1' = -\frac{e^{2t}\,e^{-t}}{W} = \frac{e^t}{2}, \quad u_2' = \frac{e^{2t}\,e^t}{W} = -\frac{e^{3t}}{2}.
Integrando, obtemos
u_1(t)=\int \frac{e^t}{2}\,dt = \frac{e^t}{2}, \quad u_2(t)=\int -\frac{e^{3t}}{2}\,dt = -\frac{e^{3t}}{6}.
Portanto
y_p(t) = \frac{e^t}{2}e^t \;+\; \Bigl(-\frac{e^{3t}}{6}\Bigr)e^{-t} = \frac{e^{2t}}{2} - \frac{e^{2t}}{6} = \frac{e^{2t}}{3}.

Passo 4

A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) = C_1e^t + C_2e^{-t} + \frac{e^{2t}}{3}.
Impondo y(0)=0 e y'(0)=0:
y(0)=C_1 + C_2 + \frac{1}{3}=0, \quad y'(t)=C_1e^t - C_2e^{-t} + \frac{2e^{2t}}{3},
y'(0)=C_1 - C_2 + \frac{2}{3}=0.
Esse sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = -\tfrac{1}{3},\\\ C_1 - C_2 = -\tfrac{2}{3}, \end{cases}
resolve-se em
C_1 = -\tfrac12, \quad C_2 = \tfrac16.

Resposta

y(t) = -\tfrac12\,e^t + \tfrac16\,e^{-t} + \tfrac13\,e^{2t}.

Exercícios relacionados