Encontre a solução geral das EDLN-H dadas abaixo, usando o Método Variação de Parâmetros.
y^{\prime \prime}-y=\operatorname{cosh} (t)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem não-homogênea
y'' - y = \operatorname{cosh}(t)
e pede a solução geral pelo método de variação de parâmetros. Para isso, vamos precisar (i) achar a solução geral da homogênea associada e (ii) aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - y = 0.
A sua equação característica é \lambda^2 - 1 = 0, com raízes \lambda = 1 e \lambda = -1. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t}.

Passo 3

No método de variação de parâmetros procuramos
y_p(t) = u_1(t)\,y_1(t) + u_2(t)\,y_2(t),
com y_1=e^t, y_2=e^{-t}. O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} e^t & e^{-t}\\\ e^t & -e^{-t}\end{vmatrix} = -2.
Como a EDO tem a forma y''+p(t)y'+q(t)y=g(t), as fórmulas dão
u_1' = -\frac{g(t)\,y_2}{W} = -\frac{\operatorname{cosh}(t)\,e^{-t}}{-2} = \frac{\operatorname{cosh}(t)\,e^{-t}}{2},
u_2' = \frac{g(t)\,y_1}{W} = \frac{\operatorname{cosh}(t)\,e^t}{-2} = -\frac{\operatorname{cosh}(t)\,e^t}{2}.

Passo 4

Agora integramos para obter u_1 e u_2:
u_1(t) = \frac12\int e^{-t}\operatorname{cosh}(t)\,\mathrm dt = \frac12\int \frac{e^{-t}(e^t+e^{-t})}{2}\,\mathrm dt = \frac14\int (1+e^{-2t})\,\mathrm dt = \frac t4 - \frac{e^{-2t}}8,
u_2(t) = -\frac12\int e^t\operatorname{cosh}(t)\,\mathrm dt = -\frac12\int \frac{e^t(e^t+e^{-t})}{2}\,\mathrm dt = -\frac14\int (e^{2t}+1)\,\mathrm dt = -\frac{e^{2t}}8 - \frac t4.
Constantes de integração são absorvidas em C_1,C_2.

Passo 5

O particular é
y_p = u_1 e^t + u_2 e^{-t} = \Bigl(\frac t4 - \frac{e^{-2t}}8\Bigr)e^t + \Bigl(-\frac{e^{2t}}8 - \frac t4\Bigr)e^{-t}.
Isso simplifica para
y_p(t) = \frac t2\operatorname{sinh}(t) - \frac14\operatorname{cosh}(t).
Logo a solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t} + \frac t2\operatorname{sinh}(t) - \frac14\operatorname{cosh}(t).

Resposta

y(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-t} + \frac t2\operatorname{sinh}(t) - \frac14\operatorname{cosh}(t).

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