Encontre a solução geral das EDLN-H dadas abaixo, usando o Método Variação de Parâmetros.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=t^{-2} e^{-2 t}, \quad t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = t^{-2} e^{-2t},\quad t>0.
O conteúdo necessário é: a solução geral da homogênea e, em seguida, aplicar o método de variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea
y'' + 4y' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0\quad\Longrightarrow\quad (r+2)^2 = 0,
com raiz dupla r=-2. Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{-2t} + C_2\,t\,e^{-2t}.

Passo 3

Para variação de parâmetros escolhemos as soluções fundamentais
y_1 = e^{-2t},\quad y_2 = t\,e^{-2t}.
Calculamos o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[6pt] y_1'& y_2' \end{vmatrix} = e^{-2t}\,(1-2t)e^{-2t} -(-2e^{-2t})\,(t e^{-2t}) = e^{-4t}.]

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_1' = -\frac{g(t)\,y_2}{W},\quad u_2' = \frac{g(t)\,y_1}{W},
onde g(t)=t^{-2}e^{-2t}. Assim
u_1' = -\frac{t^{-2}e^{-2t}\cdot t e^{-2t}}{e^{-4t}} = -\frac{1}{t}, \quad u_2' = \frac{t^{-2}e^{-2t}\cdot e^{-2t}}{e^{-4t}} = t^{-2}.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1 = \int -\frac{1}{t}\,dt = -\ln t, \quad u_2 = \int t^{-2}\,dt = -\frac{1}{t}.

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = (-\ln t)\,e^{-2t} + \Bigl(-\tfrac{1}{t}\Bigr)\,t\,e^{-2t} = -e^{-2t}\ln t \;-\; e^{-2t}.

Passo 7

Portanto, a solução geral da EDLN-H é
y = y_h + y_p = C_1 e^{-2t} + C_2\,t\,e^{-2t} \;-\; e^{-2t}(\ln t + 1).

Resposta

\boxed{y(t) = e^{-2t}\Bigl(C_1 + C_2\,t - \ln t - 1\Bigr),\quad t>0.}

Exercícios relacionados