Encontre a solução geral das EDLN-H dadas abaixo, usando o Método Variação de Parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
usando o método de variação de parâmetros. Isso envolve dois blocos principais:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
- Usar variação de parâmetros para achar uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo, vem
A equação característica é
, cujas raízes são
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Em variação de parâmetros, escrevemos uma solução particular na forma
onde
Precisamos ainda do Wronskiano
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros dão
onde
é o lado direito da equação dividindo o coeficiente de
. Aqui
.
Então
Então
Integrando,
Passo 5
Agora
Integramos para obter
Passo 6
Montamos a solução particular
Simplificando
Passo 7
A solução geral da equação não homogênea é
Podemos, se quisermos, absorver o termo
em
, mas não é obrigatório.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.