Encontre a solução geral das EDLN-H dadas abaixo, usando o Método Variação de Parâmetros.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=2 e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' - y' - 2y = 2e^{-t}
usando o método de variação de parâmetros. Isso envolve dois blocos principais:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
  2. Usar variação de parâmetros para achar uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea
y'' - y' - 2y = 0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo, vem
r^2 e^{rt} - r e^{rt} -2 e^{rt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 - r - 2 = 0.
A equação característica é r^2 - r -2=0, cujas raízes são
r = 2 \quad\text{e}\quad r = -1.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-t}.

Passo 3

Em variação de parâmetros, escrevemos uma solução particular na forma
y_p(t) = u_1(t)\,y_1(t) + u_2(t)\,y_2(t),
onde
y_1(t) = e^{2t},\qquad y_2(t) = e^{-t}.
Precisamos ainda do Wronskiano
W(t) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{2t} & e^{-t} \\[3pt] 2e^{2t} & -e^{-t} \end{vmatrix} = -e^{2t - t} - 2e^{2t - t} = -3e^{t}.]

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_1'(t) = -\frac{f(t)\,y_2(t)}{W(t)}, \qquad u_2'(t) = \frac{f(t)\,y_1(t)}{W(t)},
onde f(t) é o lado direito da equação dividindo o coeficiente de y''. Aqui f(t)=2e^{-t}.
Então
u_1'(t) = -\frac{2e^{-t}\cdot e^{-t}}{-3e^{t}} = \frac{2e^{-2t}}{3e^{t}} = \frac{2}{3}e^{-3t}.
Integrando,
u_1(t) = \int \frac{2}{3}e^{-3t}\,dt = \frac{2}{3}\bigl(-\tfrac{1}{3}e^{-3t}\bigr) = -\frac{2}{9}e^{-3t}.

Passo 5

Agora
u_2'(t) = \frac{2e^{-t}\cdot e^{2t}}{-3e^{t}} = -\frac{2}{3}.
Integramos para obter
u_2(t) = \int \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)\,dt = -\frac{2}{3}t.

Passo 6

Montamos a solução particular
y_p(t) = u_1(t)\,y_1(t) + u_2(t)\,y_2(t) = \Bigl(-\frac{2}{9}e^{-3t}\Bigr)e^{2t} + \Bigl(-\frac{2}{3}t\Bigr)e^{-t}.
Simplificando
y_p(t) = -\frac{2}{9}e^{-t} \;-\;\frac{2}{3}\,t\,e^{-t}.

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-t} \;-\;\frac{2}{3}\,t\,e^{-t} \;-\;\frac{2}{9}e^{-t}.
Podemos, se quisermos, absorver o termo -\tfrac{2}{9}e^{-t} em C_2e^{-t}, mas não é obrigatório.

Resposta

\boxed{y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-t} - \frac{2}{3}\,t\,e^{-t} - \frac{2}{9}\,e^{-t},}
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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