Encontre a solução geral de EDO dada abaixo e verifique o resultado:
(1+ex)yy′=ex,

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
(1+e^x),y,y' = e^x
e queremos encontrar a solução geral. Esse é um problema de EDO separável, pois podemos isolar as variáveis y e x em lados distintos da equação.

Passo 2

Reescrevemos y' = dydx e separamos as variáveis:
(1+e^x),y,dydx = e^x Longrightarrow y,dy = e^x1+e^x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados da forma
integral y,dy = integral e^x1+e^x,dx

Passo 4

No lado esquerdo, integral y,dy = y^22.
No lado direito, fazemos a substituição u = 1+e^x de modo que du = e^x,dx, logo
integral e^x1+e^x,dx = integral duu = ln|u| + C = ln(1+e^x) + C
Assim obtemos
y^22 = ln(1+e^x) + C

Passo 5

Multiplicando por 2 e chamando C1 = 2C, chegamos à forma mais habitual da solução geral:
y^2 = 2ln(1+e^x) + C1,
de onde
y(x) = pmraiz2ln(1+e^x) + C1

Passo 6

Para verificar, diferenciamos y^22 = ln(1+e^x) + C. Derivando ambos os lados:
y,y' = e^x1+e^x,
e multiplicando por 1+e^x retorna exatamente
(1+e^x),y,y' = e^x,
confirmando que a solução está correta.

Resposta

A solução geral da EDO é
y^2 = 2ln(1+e^x) + C,
isto é,
y(x) = pmraiz2ln(1+e^x) + C

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