Encontre a solução geral de EDO dada abaixo e verifique o resultado:
(1+ex)yy′=ex,
(1+ex)yy′=ex,
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
e queremos encontrar a solução geral. Esse é um problema de EDO separável, pois podemos isolar as variáveis
e
em lados distintos da equação.
Passo 2
Reescrevemos
e separamos as variáveis:
Passo 3
Integramos ambos os lados da forma
Passo 4
No lado esquerdo,
.
No lado direito, fazemos a substituição de modo que
, logo
No lado direito, fazemos a substituição
Assim obtemos
Passo 5
Multiplicando por 2 e chamando
, chegamos à forma mais habitual da solução geral:
de onde
Passo 6
Para verificar, diferenciamos
. Derivando ambos os lados:
e multiplicando por
retorna exatamente
confirmando que a solução está correta.
Resposta
A solução geral da EDO é
isto é,