Encontre a solução geral de EDO dada abaixo e verifique o resultado:
y′+y=3,

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y'+y=3
que é uma EDO linear não homogênea com coeficiente constante. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos p(x)=1 e q(x)=3 na forma padrão y'+p(x)y=q(x). O fator integrante é
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral1,dx=e^x

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(x). Isso transforma o lado esquerdo num derivado de produto:
e^xy' + e^xy =3e^x Longrightarrow ddxl(e^xyr)=3e^x
Agora integramos ambos os lados:
e^xy=integral3e^x,dx =3e^x+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, temos
y = 3 + Ce^-x
Essa é a solução geral da EDO.

Passo 5

Verificamos o resultado computando y':
y' = ddxl(3+Ce^-xr) = -Ce^-x
Então
y' + y = -Ce^-x + l(3+Ce^-xr)=3,
que confere com a equação dada.

Resposta

A solução geral é
y(x)=3+Ce^-x,
onde C é constante arbitrária.

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